📝 题目
29．设 $u=f(z), z=y+x \varphi(z)$ ，其中 $f 、 \varphi$ 可导且 $1-x \varphi^{\prime}(z) \neq 0$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知 $ u = f(z) $，且 $ z = y + x \varphi(z) $，其中 $ f, \varphi $ 可导，且 $ 1 - x \varphi'(z) \neq 0 $。
首先，由隐函数关系 $ z = y + x \varphi(z) $ 可知 $ z $ 是 $ x, y $ 的隐函数。对等式两边分别关于 $ x $ 和 $ y $ 求偏导。
**1. 求 $ \frac{\partial z}{\partial x} $**
对 $ z = y + x \varphi(z) $ 两边关于 $ x $ 求偏导（注意 $ z $ 是 $ x, y $ 的函数）： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \varphi(z) + x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial x} $$ 移项： $$ \frac{\partial z}{\partial x} - x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial x} = \varphi(z) $$ $$ \frac{\partial z}{\partial x} \bigl(1 - x \varphi'(z)\bigr) = \varphi(z) $$ 由条件 $ 1 - x \varphi'(z) \neq 0 $，得： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)} $$
**2. 求 $ \frac{\partial z}{\partial y} $**
对 $ z = y + x \varphi(z) $ 两边关于 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = 1 + x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial y} $$ 移项： $$ \frac{\partial z}{\partial y} - x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial y} = 1 $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} \bigl(1 - x \varphi'(z)\bigr) = 1 $$ 因此： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 - x \varphi'(z)} $$
**3. 求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial u}{\partial y} $**
由链式法则，$ u = f(z) $，故： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = f'(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = f'(z) \cdot \frac{\varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)} $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = f'(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = f'(z) \cdot \frac{1}{1 - x \varphi'(z)} $$
因此，最终结果为： $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{f'(z) \varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)}},\quad \boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{f'(z)}{1 - x \varphi'(z)}} $$
难度：★★☆☆☆