📝 题目
27．设函数 $f(u)$ 可微，$\varphi^{\prime}(u)$ 连续且 $\varphi^{\prime}(u) \neq 1, P(t)$ 连续，又 $z=f(u)$ 且 $u=\varphi(u)+ \displaystyle{\int}_{y}^{x} P(t) \mathrm{d} t$ ，求 $P(x) \frac{\partial z}{\partial y}+P(y) \frac{\partial z}{\partial x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知： $$ z = f(u), \quad u = \varphi(u) + \int_{y}^{x} P(t) \, dt $$ 其中 $ f $ 可微，$\varphi'(u)$ 连续且 $\varphi'(u) \neq 1$，$P(t)$ 连续。
首先，由隐函数关系： $$ u - \varphi(u) = \int_{y}^{x} P(t) \, dt $$ 两边对 $x$ 求偏导（视 $u$ 为 $x,y$ 的函数）：
对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial x} - \varphi'(u) \frac{\partial u}{\partial x} = P(x) $$ 即 $$ (1 - \varphi'(u)) \frac{\partial u}{\partial x} = P(x) $$ 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{P(x)}{1 - \varphi'(u)} $$
对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} - \varphi'(u) \frac{\partial u}{\partial y} = -P(y) $$ 即 $$ (1 - \varphi'(u)) \frac{\partial u}{\partial y} = -P(y) $$ 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{P(y)}{1 - \varphi'(u)} $$
现在，由链式法则： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = f'(u) \frac{\partial u}{\partial x} = f'(u) \cdot \frac{P(x)}{1 - \varphi'(u)} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} = f'(u) \frac{\partial u}{\partial y} = f'(u) \cdot \left( -\frac{P(y)}{1 - \varphi'(u)} \right) $$
代入所求表达式： $$ P(x) \frac{\partial z}{\partial y} + P(y) \frac{\partial z}{\partial x} = P(x) \left( -\frac{P(y) f'(u)}{1 - \varphi'(u)} \right) + P(y) \left( \frac{P(x) f'(u)}{1 - \varphi'(u)} \right) $$ 两项互为相反数，相加得： $$ = 0 $$
因此，结果为： $$ \boxed{0} $$
难度：★★☆☆☆