📝 题目
12．设 $z=\mathrm{e}^{u} \sin v$ ，而 $u=x y, v=x+y$ ，利用全微分形式不变性求 $z_{x}$ 和 $z_{y}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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由全微分形式不变性，函数 $ z = e^u \sin v $ 的全微分为： $$ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{d}u + \frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{d}v $$ 其中 $$ \frac{\partial z}{\partial u} = e^u \sin v, \quad \frac{\partial z}{\partial v} = e^u \cos v $$ 而 $$ u = xy, \quad v = x+y $$ 所以 $$ \mathrm{d}u = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{d}x + \mathrm{d}y $$ 代入全微分公式： $$ \mathrm{d}z = e^u \sin v \, (y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y) + e^u \cos v \, (\mathrm{d}x + \mathrm{d}y) $$ 整理合并 $\mathrm{d}x$ 与 $\mathrm{d}y$ 的系数： $$ \mathrm{d}z = \bigl( e^u \sin v \cdot y + e^u \cos v \bigr) \mathrm{d}x + \bigl( e^u \sin v \cdot x + e^u \cos v \bigr) \mathrm{d}y $$ 由全微分形式 $\mathrm{d}z = z_x \mathrm{d}x + z_y \mathrm{d}y$ 可得： $$ z_x = e^u ( y \sin v + \cos v ), \quad z_y = e^u ( x \sin v + \cos v ) $$ 代回 $u = xy, v = x+y$，最终结果为： $$ \boxed{z_x = e^{xy} \bigl( y \sin(x+y) + \cos(x+y) \bigr)} $$ $$ \boxed{z_y = e^{xy} \bigl( x \sin(x+y) + \cos(x+y) \bigr)} $$
难度：★★☆☆☆