📝 题目
18．把二重积分写成极坐标系下的二次积分． （1）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0, y \leqslant 0, a\gt 0\right\}$ ； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, y \geqslant 0\right\}$ ； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}, x \leqslant y \leqslant \sqrt{3} x, x\gt 0\right\} (0\lt a\lt b) ;$ （4）$I=\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ； （5）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**（1）** 区域 $D$ 是半径为 $a$ 的圆在第四象限的部分（$x\ge0, y\le0$）。 极坐标变换：$x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$， 则 $x^2+y^2 \le a^2$ 对应 $0\le r\le a$， $x\ge0$ 对应 $\cos\theta\ge0$，$y\le0$ 对应 $\sin\theta\le0$， 故 $\theta$ 范围：$-\frac{\pi}{2}\le\theta\le0$。 面积元 $\mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，于是 $$ I = \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}\sigma = \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{0} \int_{r=0}^{a} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. $$
**（2）** 区域 $D: x^2+y^2\le 2x,\; y\ge0$。 化为极坐标：$x^2+y^2 = r^2$，$2x = 2r\cos\theta$， 不等式 $r^2 \le 2r\cos\theta$ 即 $r\le 2\cos\theta$（$r\ge0$）。 $y\ge0$ 对应 $\sin\theta\ge0$，即 $0\le\theta\le\pi$。 另外 $r\ge0$ 要求 $2\cos\theta\ge0$，故 $\cos\theta\ge0$，即 $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$。 所以 $$ I = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. $$
**（3）** 区域 $D: a^2\le x^2+y^2\le b^2$，且 $x\le y\le\sqrt{3}x,\; x>0$。 极坐标下 $r$ 范围：$a\le r\le b$。 条件 $x\le y$ 即 $r\cos\theta\le r\sin\theta$，得 $\tan\theta\ge1$，即 $\theta\ge\frac{\pi}{4}$； $y\le\sqrt{3}x$ 即 $\tan\theta\le\sqrt{3}$，得 $\theta\le\frac{\pi}{3}$； $x>0$ 自动满足。 故 $$ I = \int_{\theta=\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \int_{r=a}^{b} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. $$
**（4）** 区域 $D: 1\le x^2+y^2\le 4$，整个圆环。 极坐标下 $r$ 从 $1$ 到 $2$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$， 被积函数 $\mathrm{e}^{-x^2-y^2} = \mathrm{e}^{-r^2}$， $$ I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{2} \mathrm{e}^{-r^2}\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. $$
**（5）** 区域 $D: x^2+y^2\le 2y$，即 $x^2+(y-1)^2\le 1$，圆心 $(0,1)$ 半径为 $1$ 的圆。 极坐标：$x^2+y^2 = r^2$，$2y = 2r\sin\theta$， 不等式 $r^2\le 2r\sin\theta$ 即 $r\le 2\sin\theta$（$r\ge0$）。 $r\ge0$ 要求 $\sin\theta\ge0$，即 $0\le\theta\le\pi$。 被积函数 $f(x^2+y^2)=f(r^2)$， $$ I = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{2\sin\theta} f(r^2)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. $$
难度评级：★★☆☆☆