第7章

1．计算 $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ ： （1）$\{(x, y)|x| \leqslant 1,|y| \leqslant 2\}$ ； （2）$\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid 1^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 3^{2}\right\}$ ．

10．计算二重积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，函数 $f(u)$ 在 $D$ 上连续．

11．计算下列二重（二次）积分。 （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{3 x}(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $|x|=2,|y|=1$ 所围闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} y \cos (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \pi$ 所确定的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=2 x, y=1$ 围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=3 x, y=x, x=1, x=3$ 所确定的闭区域； （7）设 $D$ 是由 $y=2, y=x, y=2 x$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}-x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （8）设 $D$ 是由 $x=0, y=\pi, y=x$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D} \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （9）设 $D$ 是由 $x=\sqrt{y}, x=3-2 y, y=0$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ； （10）设 $D$ 是由 $x=0, y=0,2 x+y=4$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(4-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （11）设 $D$ 是由 $y=x, x=y^{2}$ 所围闭区域，求二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

12．把二重积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 转化为两种不同次序的二次积分，其中 $D$ 分别如下。 （1）由直线 $y=x, y=3 x, x=1, x=2$ 所围成的闭区域； （2）由直线 $x+y=1, x-y=1, x=0$ 所围成的闭区域。

13．交换下列二次积分的积分顺序。 （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{3} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{3 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{1}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\displaystyle{\int}_{2}^{4} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{\frac{y}{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{\sqrt{2 a x-x^{2}}}^{\sqrt{2 a x}} f(x, y) \mathrm{d} y(a\gt 0)$ ．

14．利用两种方法计算二重积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=1, x=2$ 及 $y=x$ 所围成的闭区域； （2）计算 $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{x^{2}}{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 由直线 $x=2, y=x$ 及曲线 $x y=1$ 所围成； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}(x y+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 所围成的闭区域。

15．（1）设 $f(y)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(y)(b-y) \mathrm{d} y$ ； （2）计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{1} x^{2} \sin x y \mathrm{~d} x$ 。

16．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

17．计算积分 $I=\displaystyle{\int}_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x+\displaystyle{\int}_{\frac{1}{2}}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{\sqrt{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x$ ．

18．把二重积分写成极坐标系下的二次积分． （1）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0, y \leqslant 0, a\gt 0\right\}$ ； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, y \geqslant 0\right\}$ ； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}, x \leqslant y \leqslant \sqrt{3} x, x\gt 0\right\} (0\lt a\lt b) ;$ （4）$I=\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma, D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ； （5）$I=\displaystyle{\iint}_{D} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ．

19．利用极坐标计算下列二重积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ 围成的圆环形区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 和两坐标轴所围成的第一象限的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D}(h-2 x-3 y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是圆 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 所围成的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$ ，其中 $D$ 是由 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2, y \geqslant 0$ 所围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2}=2$ 与直线 $y=x$ 及 $y$ 轴所围成的闭区域。

2．用二重积分表示立体 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1, z \leqslant 0$ 的体积，并写出积分区域的表达式．

20．选用适当的坐标计算下列积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=2, y=x$ 和双曲线 $x y=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 和 $x+y \geqslant 1$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=x+2$ 和 $y=2, y=6$ 所围成的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{e}^{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $|x|+|y| \leqslant 1$ 所围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=0, y=1$ 和双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 所围成的闭区域； （7） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=\frac{1}{2} x, y=2 x$ 和双曲线 $x y=1, x y=2$ 所围成的闭区域； （8） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x$ 所围成的闭区域； （9） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x^{2}+y^{2} \geqslant 2 x$ 与 $y$ 轴围成的位于第一象限内的闭区域； （10） $\displaystyle{\iint}_{D}\left|x^{2}+y^{2}-2\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由圆周 $x^{2}+y^{2} \leqslant 9$ 所围成的闭区域。

21．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为由圆 $x^{2}+y^{2}=2 y, x^{2}+y^{2}=4 y$ 及直线 $x-\sqrt{3} y=0$ ， $y-\sqrt{3} x=0$ 所围成的平面闭区域。

22．求半球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 9(z \geqslant 0)$ 的体积．

23．求曲面 $z=1-4 x^{2}-y^{2}$ 与 $x O y$ 面所围成的立体体积。

24．求由四个平面 $x=0, y=0, x=1$ 及 $y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 与 $z=6-2 x-3 y$截得的立体体积。

25．求圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下的那部分曲面的面积．

26．求抛物柱面 $z=\frac{1}{2} x^{2}$ 含在由平面 $x=1, y=0$ 及 $y=x$ 所围成的柱体内部的那部分曲面的面积。

27．求下列平面图形 $D$ 的形心。 （1）$D$ 由抛物线 $y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=1, y=0$ 所围成； （2）$D$ 由心形线 $r=1+\cos \theta$ 所围成； （3）$D$ 由右半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0)$ 与 $y$ 轴所围成．

28．设圆盘的圆心在原点上，半径为 $R$ ，面密度 $\rho=x^{2}+y^{2}$ ，求该圆盘的质量．

29．求由坐标轴与直线 $2 x+y=6$ 所围成的三角形均匀薄片的质心。

3．设 $I=\displaystyle{\iint}_{D} \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}-1} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是圆环 $1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ 所确定的闭区域，则 $\_\_\_\_$ ． A．$I\gt 0$ B．$I\lt 0$ C．$I=0$ D．$I \neq 0$ 但符号不能确定

30．求曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)$ 和 $x^{2}+y^{2} \geqslant a$ 所围成区域 $D$ 的面积．

31．求 $z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 与 $z=4$ 所围立体的体积．

4．比较 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ 与 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 的大小，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则 $\_\_\_\_$。 A．$I_{1}=I_{2}$ B．$I_{1}\lt I_{2}$ C．$I_{1}\gt I_{2}$ D．无法比较

5．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\displaystyle{\iint}_{D} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $$ D=\left\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, \frac{1}{2} \leqslant x+y \leqslant 1\right\}, $$ 比较 $I_{1} 、 I_{2} 、 I_{3}$ 的大小。

6．利用二重积分的性质估计积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ 的值，其中 $D$ 是矩形闭区域： $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2$.

7．估计积分值 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=[1,2] \times[0,1]$ ．

8．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=[-1,1] \times[-2,2]$ ， $D_{2}=[0,1] \times[0,2]$ ，试说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的关系．

9．设 $f(x, y)$ 在 $D_{\rho}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \rho^{2}\right\}$ 上连续，求 $\displaystyle{\lim} _{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\rho^{2}} \displaystyle{\iint_{D_{\rho}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．

1．化三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 为三次积分（只需先对 $z$ ，次对 $y$ ，后对 $x$ 一种次序），其中积分区域 $\Omega$ 分别如下。 （1）由三个坐标面与平面 $6 x+3 y+2 z-6=0$ 所围成； （2）由旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $z=1$ 所围成； （3）由圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围成； （4）由双曲抛物面 $z=x y$ 与平面 $x+y=1, z=0$ 所围成。

10．设函数 $f(t)$ 连续，且 $f(0)=0, F(t)=\displaystyle{\iiint}_{\Omega_{t}}\left[z^{2}+f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega_{t}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, 0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．

11．求闭曲线 $\Gamma:\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}=a^{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)(a\gt 0)$ 所围区域的面积．

12．密度为 1 的立体由曲面 $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ 及平面 $z=0, z=\sqrt{3}$ 围成，求它对 $z$ 轴的转动惯量．

13．设密度为常量 $\rho$ 的均质物体占据由抛物面 $z=3-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $|x|=1,|y|=1$ ， $z=0$ 所围成的闭区域，试求： （1）物体的质量； （2）物体的质心； （3）物体对于 $z$ 轴的转动惯量。

2．计算下列三重积分。 （1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由三个坐标面与平面 $x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$ 所围成的闭区域； （2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由平面 $x=1, y=x, y=-x, z=0$ 及 $z=x$ 所围成的闭区域； （3） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x y z \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由双曲抛物面 $z=x y$ 与平面 $x=1, y=x$ 及 $z=0$ 所围成的闭区域； （4） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 与平面 $z=0$ 所围成的闭区域； （5） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ 所围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由上半球面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的闭区域； （7） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的闭区域； （8） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} y \cos (x+z) \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega$ 是由抛物柱面 $y=\sqrt{x}$ 与平面 $y=0, z=0$ 及平面 $x+z=\frac{\pi}{2}$所围成的闭区域。

3．在形状为 $z=x^{2}+y^{2}$ 的容器内，已盛有 $8 \mathrm{~cm}^{3}$ 的液体，现又倒入 $120 \mathrm{~cm}^{3}$ 的溶液，问液面比原来升高了多少？

4．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由平面 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(a\gt 0, b\gt 0$ ， $c\gt 0$ ）及三个坐标面所围成。

5．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 所围成。

6．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2, z=8$ 所围成。

7．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 及旋转抛物面 $x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成．

8．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x^{4} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} v$ ，其中区域 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．

9．设函数 $f(z)$ 连续，将三次积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{1} f(z) \mathrm{d} z$ 用定积分表示．

1．计算下列对弧长的曲线积分． （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{L} \sqrt{y} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 介于点 $(0,0)$ 与点 $(1,1)$ 之间的那一段弧； （3） $\displaystyle{\int}_{L} x \sin y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为连接点 $(0,0)$ 与点 $(3 \pi, \pi)$ 的直线段； （4） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y^{2}=4 x$ 上连接点 $(0,0)$ 与点 $(1,2)$ 的直线段； （5） $\displaystyle{\int}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=2 x^{2}-1$ 上连接点 $(0,0)$ 与点 $(1,2)$ 的一段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为连接点 $(1,0)$ 与点 $(0,1)$ 的直线段； （7）$\displaystyle{\oint}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为直线 $y=x$ 与抛物线 $y=x^{2}$ 所围成的区域的整个边界； （8）$\displaystyle{\oint}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{L} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=R x, y \geqslant 0$ ； （10）$\displaystyle{\oint}_{L} \mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限内所围成的区域的整个边界； （11）$\displaystyle{\oint}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为直线 $x=0, y=0, x=4, y=2$ 所围成的矩形区域的整个边界； （12） $\displaystyle{\int}_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array} \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ ； （13）$\displaystyle{\oint}_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x(y \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴在第一象限内所围成的区域的整个边界； （14） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=\mathrm{e}^{t} \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^{t}$ 相应于 $t$ 从 0 变到 2的一段弧； （15） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x y z \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为有向折线段 $O A B$ ，点 $O 、 A 、 B$ 的坐标依次为 $(0,0,0)$ ， $(1,2,3),(1,4,3)$ ； （16）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 与平面 $x=y$ 的交线； （17）$\displaystyle{\oint}_{L}(x+y) \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆弧 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 与直线 $y=x, y=-x$ 所围成的扇形 区域的整个边界。

10．设有一质量为 $m$ 的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线弧从点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 移动到点 $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，求其重力做功。

11．计算曲线积分 $I=\displaystyle{\oint}_{L} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $L:\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, \\ x^{2}+y^{2}=a x,\end{array} \quad(a\gt 0)\right.$ ，从 $z$ 轴正向朝下看逆时针方向。

12．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 化为对弧长的曲线积分，其中 $L$分别如下。 （1）$x O y$ 面内从点 $(0,0)$ 到点 $(3,4)$ 的直线段； （2）抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$ 的曲线弧； （3）沿上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧。

13．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{\Gamma} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z$ 化为对弧长的曲线积分，其中 $\Gamma$ 为从点 $(0,0,0)$ 到点 $(1,-2,2)$ 的直线段．

2．计算下列对坐标的曲线积分． （1） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $O(0,0)$ 到点 $A(2,4)$ 的一段弧； （2）$\displaystyle{\oint}_{L} x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x+x y^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为直线 $x=1$ 与抛物线 $x=y^{2}$ 围成的区域的边界（按逆时针方向绕行）； （3）$\displaystyle{\oint}_{L} y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为直线 $x=0, y=0, x=4$ 及 $y=2$ 围成的矩形区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （4） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应于 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧； （5）$\displaystyle{\oint}_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=2 a x(a\gt 0)$（按逆时针方向绕行）； （6）$\displaystyle{\oint}_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）； （7） $\displaystyle{\int}_{L}(1+2 x y) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为从点 $(1,0)$ 到点 $(-1,0)$ 的上半椭圆周 $x^{2}+2 y^{2}=1(y \geqslant 0) ;$ （8） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为折线段 $y=1-|1-x|$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,0)$的一段； （9） $\displaystyle{\int}_{L}(2 a-y) \mathrm{d} x-(a-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \text { ，上从点 }(0,0) \text { 到点 } \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right. (2 \pi a, ~ 0)$ 的一段弧； （10） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为从点 $(1,1,1)$ 到点 $(2,3,4)$ 的直线段； （11）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} \mathrm{d} x-\mathrm{d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为定向闭折线 $A B C A$ ，这里的 $A 、 B 、 C$ 依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ;$ （12） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧； （13） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=1-\cos t, y=\sin t, z=t^{3}$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $\pi$的一段弧。

3．计算 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ 的值，其中 $L$ 分别如下。 （1）从 $A(0,1)$ 到 $C(1,2)$ 的直线； （2）从 $A(0,1)$ 到 $B(1,1)$ 再从 $B(1,1)$ 到 $C(1,2)$ 的折线； （3）从 $A(0,1)$ 沿抛物线 $y=x^{2}+1$ 到 $C(1,2)$ ．

4．计算 $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 分别如下． （1）直线 $A B: A(1,1), B(2,3)$ ； （2）抛物线 $A B: y=2(x-1)^{2}+1, A(1,1), B(2,3)$ ； （3）折线 $A D B, A(1,1), D(2,1), B(2,3)$ ．

5．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ．

6．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=1(x \geqslant 0)$ ．

7．计算曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{L}|y| \mathrm{d} x+|x| \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为以 $A(1,0) 、 B(0,1)$ 及 $C(-1,0)$ 为顶点的三角形区域的正向边界曲线。

8．有一段铁丝成半圆形 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

9．求匀质的心形线 $r=1+\cos \theta$ 的上半部分弧 $(0 \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 的质心．

1．计算下列对面积的曲面积分． （1）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x+\frac{4}{3} y+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第一卦限的部分； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 被平面 $z=\frac{1}{2}$ 截取的顶部； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} y \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限的部分； （4）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分； （5）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第一卦限的部分； （6）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=2-x^{2}-y^{2}$ 在 $x O y$ 面上方的部分； （7）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{1}{(1+x+y)^{2}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为以点 $(0,0,0),(1,0,0), ~(0,1,0)$, $(0,0,1)$ 为顶点的四面体的整个边界曲面； （8）$I=\oiint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z(a\gt 0)$ ； （9） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被 $x^{2}+y^{2}=2 a x(a\gt 0)$ 所截得的部分； （10）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 在圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 内的部分； （11） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为 $z=x^{2}+y^{2}(z \leqslant 1)$ 的部分； （12） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是界于平面 $z=0$ 及 $z=H$ 之间的圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ．

2．计算下列对坐标的曲面积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的下半部分的下侧； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(y+1)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧在 $x \geqslant 0$ 的部分； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限部分的上侧； （5） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 截取的在第一卦限的部分的前侧； （6） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $z=1$ 截取的在第一卦限的部分的前侧； （7） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 满足 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \leqslant 1$ 的那一部分的下侧； （8）$\oiint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a$ ， $0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c\}$ 整个边界面的外侧； （9）$\oiint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是三个坐标面与平面 $x+y+z=1$ 所围成的空间闭区域的整个边界面的外侧； （10）$\oiint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}$ 的外侧； （11）$\oiint_{\Sigma}-y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $z=0, x+z=2$ 所截的部分的外侧； （12）$\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及平面 $z=1, z=2$ 所围立体表面的外侧； （13）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球壳 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 的外侧．

3．求抛物面壳 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的质量，此壳的面密度为 $\rho=z$ ．

4．求匀质抛物面壳 $z=x^{2}+y^{2}\left(0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{4}\right)$ 的质心。

5．设稳定的、不可压缩的流体的速度场为 $$ \boldsymbol{v}(x, y, z)=x z \boldsymbol{i}+x^{2} y \boldsymbol{j}+y^{2} z \boldsymbol{k}, $$ $\sum$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 的外侧被平面 $z=0, z=1$ 及 $x=0$ 截取的位于第一、四卦限的部 分，计算流体流向 $\sum$ 指定一侧的流量 $\Phi$ ．

6．把对坐标的曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 化为对面积的曲面积分，其中： （1）$\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+2 \sqrt{3} z=6$ 在第一卦限部分的上侧； （2）$\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧； （3）$\displaystyle{\sum}$ 是平面 $z+x=1$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 截取的部分的下侧； （4）$\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $y=2 x^{2}+z^{2}$ 被平面 $y=2$ 截取的部分的左侧。

7．利用两类曲面积分之间的联系，计算下列曲面积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的外侧被平面 $z=1$截取的有限部分； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的内侧被圆柱面 $x^{2}+y^{2}=x$ 截取的有限部分．

8．设 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $x-y+z=1$ 在第四卦限部分的上侧，函数 $f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle{\sum}$ 上连续，求 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$

1．利用格林公式，计算下列曲线积分． （1）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x-\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（按逆时针方向绕行）； （2）$I=\displaystyle{\oint}_{L} 3 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为矩形区域 $[-1,3] \times[0,2]$ 的正向边界； （3）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是以点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形区域的正向边界； （4）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(1+y^{2}\right) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为 $[0, \pi]$ 上正弦曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin x$ 所围区域的正向边界； （5）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(2 x-y+4) \mathrm{d} x+(3 x+5 y-6) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是以点 $(0,0),(3,0),(3,2)$为顶点的三角形区域的正向边界； （6）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(\cos ^{2} y-2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 在第一象限与 $x$ 轴、 $y$ 轴所围区域的正向边界； （7）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(2 x y+3 x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-y \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（按逆时针方向绕行）； （8）$I=\displaystyle{\oint}_{L} \frac{1}{x} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\frac{2}{y} \arctan \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4$ 与直线 $y=x, y=\sqrt{3} x$ 在第一象限所围区域的正向边界； （9）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(y+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{2 y}+1\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(4,0)$ 的上半圆周 $y=\sqrt{4 x-x^{2}} ;$ （10）$I=\displaystyle{\int}_{L}(1-\cos y) \mathrm{d} x-x(y-\sin y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是正弦曲线 $y=\sin x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段弧； （11）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$的一段弧； （12）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(y+\frac{\mathrm{e}^{y}}{x}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{y} \ln x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是半圆周 $x=1+\sqrt{2 y-y^{2}}$ 从点 $(1,0)$ 到点 $(2, ~ 1)$ 的一段弧； （13）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(1+y \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是上半椭圆弧 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(y \geqslant 0)$ 从点 $(-a, 0)$到点 $(a, ~ 0)$ 的一段弧； （14）$I=\displaystyle{\int}_{L}(2 x y+3 x \sin x) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是摆线 $x=t-\sin t, y=1-\cos t$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 2)$ 的一段弧； （15）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(\ln \frac{y}{x}-1\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $(1,1)$ 到点 $(3,3 \mathrm{e})$ 的不与 $x$ 轴和 $y$ 轴相交的任意一段弧； （16）$I=\displaystyle{\int}_{L}(\sin y-y \sin x+2) \mathrm{d} x+\left(\cos x+x \cos y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是正弦曲线 $y=\sin x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段弧； （17）计算曲线积分 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(1+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{2 y}-y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(4,0)$ ； （18）计算曲线积分 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y(m\gt 0)$ ，其中 $L$ 为 $y=\sqrt{a x-x^{2}}$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(a, 0)(a\gt 0)$ ．

10．设稳定且不可压缩的流体的速度场为 $\boldsymbol{v}(x, y, z)=x^{2} \boldsymbol{i}+y^{2} \boldsymbol{j}+z^{2} \boldsymbol{k}, \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+ z^{2}=a^{2}$ 的外侧位于第一卦限的部分。求流体流向 $\displaystyle{\sum}$ 指定一侧的流量 $\Phi$ 。

11．判别表达式 $\frac{(3 y-x) \mathrm{d} x+(y-3 x) \mathrm{d} y}{(x+y)^{3}}$ 是否是某个函数 $u=(x, y)$ 的全微分，若是，求此函数 $u(x, y)$ 。

12．求下列微分方程的通解． （1）$\left(4 x^{2} y-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-3 x y\right) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$\left(y-x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ； （3）$\left(x y+\sqrt{1-x^{2} y^{2}}\right) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ．

13．求满足 $f(0)=-1, f^{\prime}(0)=1$ 的具有二阶连续导数的函数 $f(x)$ ，使 $$ f(x) y \mathrm{~d} x+\left(\frac{3}{2} \sin 2 x-f^{\prime}(x)\right) \mathrm{d} y=0 $$ 成为全微分方程，并求全微分方程的积分曲线中经过 $(\pi, 1)$ 的一条积分曲线．

14．确定函数 $\alpha(x) 、 \beta(x)$ ，使当 $$ P(x, y)=(x \alpha(x)+\beta(x)) y^{2}+3 x^{2} y, Q(x, y)=y \alpha(x)+\beta(x), $$ 其中 $\alpha(0)=-1, \beta(0)=0$ 时，曲线积分 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 与路径无关；并求出 $u(x, y)$ ，使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ．

15．设 $\varphi(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\varphi(0)=\varphi^{\prime}(0)=0$ ，试求函数 $\varphi(x)$ 的表达式，使微分方程 $\varphi(x) y \mathrm{~d} x+\left(\sin x-\varphi^{\prime}(x)\right) \mathrm{d} y=0$ 为全微分方程，并求此方程的通解。

2．证明下列曲线积分在整个 $x O y$ 面内与路径无关，并计算积分值． （1） $\displaystyle{\int}_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2,1)}\left(2 x y-y^{4}+3\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{(0,0)}^{(\pi, \pi)}\left(\mathrm{e}^{y}+\sin x\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-\cos y\right) \mathrm{d} y$ ．

3．设在 $x O y$ 面内有力 $\boldsymbol{F}(x, y)=\left(x+y^{2}\right) \boldsymbol{i}+(2 x y-1) \boldsymbol{j}$ 构成力场．证明：在此力场中，场力所做的功与路径无关。

4．验证下列 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在整个 $x O y$ 面内是某一个函数 $u(x, y)$ 的全微分，并求这样一个 $u(x, y)$ 。 （1）$(x+2 y) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ ； （2）$\left(2 x+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ； （3）$\left(6 x y+2 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^{2}+4 x y\right) \mathrm{d} y$ ； （4） $2 \sin 2 x \sin 3 y \mathrm{~d} x-3 \cos 2 x \cos 3 y \mathrm{~d} y$ ； （5）$\left(3 x^{2} y+x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-y \sin y\right) \mathrm{d} y$ ； （6）$\left(3 x^{2} y^{2}+8 x y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+12 x^{2} y^{2}+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ．

5．证明：$\frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ 在 $x O y$ 面内除去 $y$ 轴的负半轴及原点 $O$ 后的区域 $G$ 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．

6．计算 $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2, \pi)}\left(y-\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{d} x+\left(x+\mathrm{e}^{x} \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．

7．利用高斯公式计算曲面积分。 （1）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是立方体 $\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a\}$ 的表面的外侧； （2）$\oiint_{\Sigma} 3 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} y^{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是以点 $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)$ ， $(0,0,1)$ 为顶点的四面体的表面的外侧； （3）$\oiint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为柱面 $x^{2}+y^{2}=9$ 与平面 $z=0, z=y-3$ 所围成的区域的边界面的外侧； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是上半球面 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧； （5） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 x z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 被平面 $z=0$ 所截下的部分的下侧； （6） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧。

8．求 $\oiint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围区域 $\Omega$的边界曲面的外侧。

9．求 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是曲线 $x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转曲面的外侧。

＊16．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。 （1）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} x y \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是以点 $(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)$ 为顶点的三角形的周界（从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向）； （2）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} z^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y+y^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 位于第一卦限那部分的边界线从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向； （3）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为椭面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1(a$ ， $b\gt 0$ ）从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向； （4）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为以点 $A_{1}(a, 0,0) 、 A_{2}(0, a, 0) 、 A_{3}(0,0, a)$ $(a\gt 0)$ 为端点的三段圆弧 $\overparen{A}_{1} A_{2} 、 \overparen{A}_{2} A_{3} 、 \overparen{A}_{3}$ 所组成的封闭曲线，方向依 $A_{1} \rightarrow A_{2} \rightarrow A_{3} \rightarrow A_{1}$ ； （5）$I=\displaystyle{\oint}_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z-2=0$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往下看，$\Gamma$ 为逆时针方向。

＊17．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 穿过曲面 $\displaystyle{\sum}$ 流向指定侧的流量． （1） $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x) \boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}, \quad \displaystyle{\sum}$ 为椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ ，流向外侧； （2） $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x) \boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}, \quad \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 位于第一卦限的那部分，流向凸的一侧。

＊18．求向量场 $\boldsymbol{A}=x y \boldsymbol{i}+\cos (x y) \boldsymbol{j}+\cos (x z) \boldsymbol{k}$ 的散度．

＊19．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 沿定向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量． （1） $\boldsymbol{A}=-y \boldsymbol{i}+x \boldsymbol{j}+c \boldsymbol{k}(c \in \mathbf{R}), \Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, z=0$ ，从 $z$ 轴正向看去，$\Gamma$ 取逆时针方向； （2） $\boldsymbol{A}=3 y \boldsymbol{i}-x z \boldsymbol{j}+y z^{2} \boldsymbol{k}, \Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4, z=1$ ，从 $z$ 轴正向看去，$\Gamma$ 取逆时针方向。

＊20．求向量场 $\boldsymbol{A}=x^{2} \sin y \boldsymbol{i}+y^{2} \sin z \boldsymbol{j}+z^{2} \sin x \boldsymbol{k}$ 的旋度． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 二重、三重积分 & \begin{tabular}{l} 理解二重积分、三重积分的概念 \\ 了解重积分的性质 \\ 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） \\ 了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标） \end{tabular} \\ \hline 曲线、曲面积分 & \begin{tabular}{l} 理解两类曲线积分的概念 \\ 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 \\ 会计算两类曲线积分 \\ 了解两类曲面积分的概念 \\ 会计算两类曲面积分 \end{tabular} \\ \hline 积分联系 & \begin{tabular}{l} 掌握格林（Green）公式 \\ 会使用平面曲线积分与路径无关的条件 \\ 了解高斯（Guass）、斯托克斯（Stokes）公式 \\ 了解散度、旋度的计算公式 \end{tabular} \\ \hline 积分应用 & 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等） \\ \hline \end{tabular}