📝 题目
7．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 及旋转抛物面 $x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：确定积分区域**
区域 $\Omega$ 由上半球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 和旋转抛物面 $x^2 + y^2 = 3z$ 围成。 两曲面交线满足： $$ x^2 + y^2 = 3z,\quad z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} $$ 将 $x^2 + y^2 = r^2$ 代入，得： $$ r^2 = 3z,\quad z = \sqrt{4 - r^2} $$ 于是： $$ \sqrt{4 - r^2} = \frac{r^2}{3} $$ 两边平方： $$ 4 - r^2 = \frac{r^4}{9} \quad\Rightarrow\quad r^4 + 9r^2 - 36 = 0 $$ 令 $u = r^2$，则： $$ u^2 + 9u - 36 = 0 \quad\Rightarrow\quad u = \frac{-9 + \sqrt{81 + 144}}{2} = \frac{-9 + 15}{2} = 3 $$ 所以 $r^2 = 3$，即 $r = \sqrt{3}$，对应 $z = 1$。 因此区域在 $xy$ 平面投影为圆盘 $D: x^2 + y^2 \le 3$，且 $z$ 从抛物面到球面： $$ \frac{r^2}{3} \le z \le \sqrt{4 - r^2} $$
**步骤2：采用柱坐标计算**
令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$，体积元 $\mathrm{d}v = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$，被积函数： $$ x + y + z = r\cos\theta + r\sin\theta + z $$ 积分： $$ I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{3}} \int_{z=\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} (r\cos\theta + r\sin\theta + z)\, r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$
**步骤3：先对 $z$ 积分**
对于固定的 $r,\theta$： $$ \int_{z=\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} (r\cos\theta + r\sin\theta + z)\,\mathrm{d}z $$ 先分离： $$ = (r\cos\theta + r\sin\theta) \cdot \left( \sqrt{4-r^2} - \frac{r^2}{3} \right) + \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} z\,\mathrm{d}z $$ 而： $$ \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} z\,\mathrm{d}z = \frac{1}{2} \left[ (4 - r^2) - \frac{r^4}{9} \right] $$ 所以对 $z$ 积分结果为： $$ (r\cos\theta + r\sin\theta)\left( \sqrt{4-r^2} - \frac{r^2}{3} \right) + \frac{1}{2}\left(4 - r^2 - \frac{r^4}{9}\right) $$
**步骤4：再对 $\theta$ 积分**
由于： $$ \int_{0}^{2\pi} \cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0,\quad \int_{0}^{2\pi} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 0 $$ 所以含 $\cos\theta,\sin\theta$ 的项积分为零，只剩下常数项： $$ I = \int_{r=0}^{\sqrt{3}} \left[ \frac{1}{2}\left(4 - r^2 - \frac{r^4}{9}\right) \cdot 2\pi \right] r\,\mathrm{d}r $$ 即： $$ I = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left(4r - r^3 - \frac{r^5}{9}\right) \mathrm{d}r $$
**步骤5：对 $r$ 积分**
计算： $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} 4r\,\mathrm{d}r = 2r^2 \Big|_{0}^{\sqrt{3}} = 2\cdot 3 = 6 $$ $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} r^3\,\mathrm{d}r = \frac{r^4}{4}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{9}{4} $$ $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{r^5}{9}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{9}\cdot\frac{r^6}{6}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{54} \cdot 27 = \frac{1}{2} $$ 所以： $$ I = \pi \left(6 - \frac{9}{4} - \frac{1}{2}\right) = \pi \left(6 - \frac{9}{4} - \frac{2}{4}\right) = \pi \left(6 - \frac{11}{4}\right) = \pi \cdot \frac{24 - 11}{4} = \frac{13\pi}{4} $$
**最终结果：** $$ \boxed{\dfrac{13\pi}{4}} $$
难度：★★☆☆☆