📝 题目
6．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2, z=8$ 所围成。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：分析区域与坐标系选择** 曲线 $\begin{cases} y^2 = 2z, \\ x = 0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周，得到旋转抛物面方程为 $$ x^2 + y^2 = 2z. $$ 区域 $\Omega$ 由该旋转抛物面与平面 $z=2$、$z=8$ 围成。由于被积函数 $x^2 + y^2$ 和区域都具有旋转对称性，采用柱坐标 $(r,\theta,z)$，其中 $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,\quad \mathrm{d}v = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z. $$ 在柱坐标下，被积函数变为 $$ x^2 + y^2 = r^2. $$ 旋转抛物面方程化为 $$ r^2 = 2z. $$
**第二步：确定积分限** 在 $z$ 方向，平面 $z=2$ 到 $z=8$。 对于固定的 $z$，$r$ 从旋转抛物面 $r=0$ 到 $r=\sqrt{2z}$。 角度 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 因此积分区域为 $$ \Omega: \quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 2 \le z \le 8,\quad 0 \le r \le \sqrt{2z}. $$
**第三步：化为累次积分** $$ I = \iiint_{\Omega} r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z = \int_{\theta=0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{z=2}^{8} \mathrm{d}z \int_{r=0}^{\sqrt{2z}} r^3 \,\mathrm{d}r. $$
**第四步：逐层积分计算** 先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 \,\mathrm{d}r = \left. \frac{r^4}{4} \right|_{0}^{\sqrt{2z}} = \frac{(2z)^2}{4} = \frac{4z^2}{4} = z^2. $$ 再对 $z$ 积分： $$ \int_{z=2}^{8} z^2 \,\mathrm{d}z = \left. \frac{z^3}{3} \right|_{2}^{8} = \frac{512}{3} - \frac{8}{3} = \frac{504}{3} = 168. $$ 最后对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi. $$ 因此 $$ I = 2\pi \times 168 = 336\pi. $$
**第五步：最终结果** $$ \boxed{336\pi} $$
难度评级：★★☆☆☆ （中等偏易，主要考察旋转体区域在柱坐标下的积分，计算量不大，但需正确建立积分限。）