📝 题目
5．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 所围成。
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们计算三重积分 $$ I = \displaystyle{\iiint}_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, \mathrm{d}v, $$ 其中区域 $\Omega$ 是由椭球面 $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $$ 所围成的椭球体。
**第一步：变量替换（广义球坐标）** 令 $$ x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w, $$ 则椭球 $\Omega$ 变为单位球体 $$ u^2 + v^2 + w^2 \le 1. $$ 此变换的雅可比行列式为 $$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc. $$ 于是积分变为 $$ I = \displaystyle{\iiint}_{u^2+v^2+w^2 \le 1} \big( a^2 u^2 + b^2 v^2 + c^2 w^2 \big) \cdot abc \; \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w. $$
**第二步：利用球坐标计算单位球上的积分** 在单位球上采用球坐标： $$ u = r\sin\theta\cos\varphi,\quad v = r\sin\theta\sin\varphi,\quad w = r\cos\theta, $$ 其中 $0 \le r \le 1,\; 0 \le \theta \le \pi,\; 0 \le \varphi \le 2\pi$，体积元为 $$ \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w = r^2 \sin\theta \; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. $$ 于是 $$ I = abc \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \big( a^2 r^2\sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2 r^2\sin^2\theta\sin^2\varphi + c^2 r^2\cos^2\theta \big) r^2 \sin\theta \; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. $$
**第三步：分离变量并积分** 先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{1} r^4 \, \mathrm{d}r = \frac{1}{5}. $$ 于是 $$ I = \frac{abc}{5} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \big( a^2 \sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2 \sin^2\theta\sin^2\varphi + c^2 \cos^2\theta \big) \sin\theta \; \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. $$
**第四步：分别计算三个部分**
- 第一项： $$ a^2 \int_{0}^{2\pi} \cos^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta. $$ 已知 $$ \int_{0}^{2\pi} \cos^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \pi, $$ $$ \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi} (1-\cos^2\theta)\sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}. $$ 所以第一项贡献为 $$ a^2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi a^2}{3}. $$
- 第二项： $$ b^2 \int_{0}^{2\pi} \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta, $$ 其中 $$ \int_{0}^{2\pi} \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \pi, $$ 所以第二项贡献为 $$ \frac{4\pi b^2}{3}. $$
- 第三项： $$ c^2 \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta. $$ 其中 $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\varphi = 2\pi, $$ $$ \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{2}{3}. $$ 所以第三项贡献为 $$ c^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi c^2}{3}. $$
**第五步：合并结果** 三项相加得 $$ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (\cdots) \sin\theta \, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \frac{4\pi}{3}(a^2 + b^2 + c^2). $$ 因此 $$ I = \frac{abc}{5} \cdot \frac{4\pi}{3}(a^2 + b^2 + c^2) = \frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2). $$
最终结果为 $$ \boxed{I = \frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2)}. $$
难度：★★★☆☆ （需要掌握广义球坐标变换、三重积分变量替换及球坐标下的计算技巧）