📝 题目
15．设 $\varphi(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\varphi(0)=\varphi^{\prime}(0)=0$ ，试求函数 $\varphi(x)$ 的表达式，使微分方程 $\varphi(x) y \mathrm{~d} x+\left(\sin x-\varphi^{\prime}(x)\right) \mathrm{d} y=0$ 为全微分方程，并求此方程的通解。
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，题目要求微分方程 $$ \varphi(x) y \, dx + \left( \sin x - \varphi'(x) \right) dy = 0 $$ 为全微分方程。 设 $$ P(x,y) = \varphi(x) y,\quad Q(x,y) = \sin x - \varphi'(x). $$ 全微分方程的条件是 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}. $$
计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \varphi(x), $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos x - \varphi''(x). $$
令两者相等： $$ \varphi(x) = \cos x - \varphi''(x). $$ 整理得二阶线性微分方程： $$ \varphi''(x) + \varphi(x) = \cos x. $$
解此方程： 对应齐次方程 $\varphi'' + \varphi = 0$ 的通解为 $$ \varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x. $$ 非齐次项 $\cos x$ 是齐次解的一部分，因此设特解形式为 $$ \varphi_p(x) = x (A \cos x + B \sin x). $$ 求导： $$ \varphi_p'(x) = (A \cos x + B \sin x) + x(-A\sin x + B\cos x), $$ $$ \varphi_p''(x) = (-A\sin x + B\cos x) + (-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x) = -2A\sin x + 2B\cos x - x(A\cos x + B\sin x). $$
代入方程 $\varphi_p'' + \varphi_p = \cos x$： $$ \left[-2A\sin x + 2B\cos x - x(A\cos x + B\sin x)\right] + x(A\cos x + B\sin x) = \cos x, $$ 化简得 $$ -2A\sin x + 2B\cos x = \cos x. $$ 比较系数得： $$ -2A = 0 \Rightarrow A=0,\quad 2B = 1 \Rightarrow B = \frac12. $$ 所以特解为 $$ \varphi_p(x) = \frac{x}{2} \sin x. $$
因此通解为 $$ \varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac{x}{2} \sin x. $$
利用初始条件 $\varphi(0)=0$： $$ C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 + 0 = 0 \Rightarrow C_1=0. $$ 又 $\varphi'(0)=0$：先求导 $$ \varphi'(x) = C_2 \cos x + \frac12 \sin x + \frac{x}{2} \cos x, $$ 代入 $x=0$： $$ \varphi'(0) = C_2 \cdot 1 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow C_2=0. $$
所以 $$ \varphi(x) = \frac{x}{2} \sin x. $$
此时原方程为全微分方程，代入 $\varphi(x)$： $$ P = \frac{x}{2} \sin x \cdot y,\quad Q = \sin x - \left( \frac12 \sin x + \frac{x}{2} \cos x \right) = \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x. $$
求原函数 $u(x,y)$ 满足 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x y}{2} \sin x,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x. $$
对 $y$ 积分第二式： $$ u(x,y) = y\left( \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x \right) + h(x). $$
对 $x$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y\left( \frac12 \cos x - \frac12 \cos x + \frac{x}{2} \sin x \right) + h'(x) = y \cdot \frac{x}{2} \sin x + h'(x). $$ 与第一式比较得 $h'(x)=0$，即 $h(x)=C$（常数）。
所以通解为 $$ y\left( \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x \right) = C. $$ 或写作 $$ y(\sin x - x \cos x) = C_1. $$
最终结果： $$ \boxed{\varphi(x)=\dfrac{x}{2}\sin x,\quad \text{通解为 } y(\sin x - x\cos x)=C} $$
难度：★★★☆☆