第7章 · 第7-5-2题

[AI解答]

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**（1）** 曲线积分 $$ \int_{(1,1)}^{(2,3)} (x+y)\,dx + (x-y)\,dy $$ 令 $P = x+y$，$Q = x-y$，则 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, $$ 二者相等，故积分与路径无关。

取路径：先从 $(1,1)$ 沿水平到 $(2,1)$，再沿竖直到 $(2,3)$。

第一段：$y=1$，$dy=0$，$x$ 从 $1$ 到 $2$， $$ \int_{1}^{2} (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{1}^{2} = (2+2) - \left(\frac12+1\right) = 4 - 1.5 = 2.5. $$

第二段：$x=2$，$dx=0$，$y$ 从 $1$ 到 $3$， $$ \int_{1}^{3} (2-y)\,dy = \left[2y - \frac{y^2}{2}\right]_{1}^{3} = (6 - 4.5) - (2 - 0.5) = 1.5 - 1.5 = 0. $$

总积分值为 $2.5$。

**（2）** $$ \int_{(1,0)}^{(2,1)} (2xy - y^4 + 3)\,dx + (x^2 - 4xy^3)\,dy $$ 令 $P = 2xy - y^4 + 3$，$Q = x^2 - 4xy^3$，则 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 4y^3,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - 4y^3, $$ 相等，故与路径无关。

取路径：先沿 $x$ 从 $1$ 到 $2$，$y=0$，则 $dy=0$， $$ \int_{1}^{2} (0 - 0 + 3)\,dx = \int_{1}^{2} 3\,dx = 3. $$ 再沿竖直：$x=2$，$y$ 从 $0$ 到 $1$，$dx=0$， $$ \int_{0}^{1} (4 - 8y^3)\,dy = \left[4y - 2y^4\right]_{0}^{1} = 4 - 2 = 2. $$ 总积分值为 $3+2=5$。

**（3）** $$ \int_{(0,0)}^{(\pi,\pi)} (e^y + \sin x)\,dx + (x e^y - \cos y)\,dy $$ 令 $P = e^y + \sin x$，$Q = x e^y - \cos y$，则 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = e^y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^y, $$ 相等，故与路径无关。

取路径：先沿 $x$ 从 $0$ 到 $\pi$，$y=0$，$dy=0$， $$ \int_{0}^{\pi} (e^0 + \sin x)\,dx = \int_{0}^{\pi} (1 + \sin x)\,dx = \left[x - \cos x\right]_{0}^{\pi} = (\pi + 1) - (0 - 1) = \pi + 2. $$ 再沿竖直：$x=\pi$，$y$ 从 $0$ 到 $\pi$，$dx=0$， $$ \int_{0}^{\pi} (\pi e^y - \cos y)\,dy = \left[\pi e^y - \sin y\right]_{0}^{\pi} = (\pi e^\pi - 0) - (\pi \cdot 1 - 0) = \pi(e^\pi - 1). $$ 总积分值为 $$ (\pi + 2) + \pi(e^\pi - 1) = \pi e^\pi + 2. $$

**难度评级：★★☆☆☆**