📝 题目
3．设在 $x O y$ 面内有力 $\boldsymbol{F}(x, y)=\left(x+y^{2}\right) \boldsymbol{i}+(2 x y-1) \boldsymbol{j}$ 构成力场．证明：在此力场中，场力所做的功与路径无关。
💡 答案与解析
[AI解答]
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要证明力场 $\boldsymbol{F}(x, y) = (x + y^2) \boldsymbol{i} + (2xy - 1) \boldsymbol{j}$ 做功与路径无关，只需证明该向量场是保守场，即存在势函数，或等价地，其旋度为零（在单连通区域内）。
设 $$ P(x, y) = x + y^2, \quad Q(x, y) = 2xy - 1. $$
计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y^2) = 2y, $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy - 1) = 2y. $$
显然有： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}. $$
由于 $\displaystyle{\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}$ 在 $xOy$ 平面内处处成立，且平面是单连通区域，因此该力场是保守场，场力所做的功与路径无关。
难度评级：★☆☆☆☆