📝 题目
4．验证下列 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在整个 $x O y$ 面内是某一个函数 $u(x, y)$ 的全微分，并求这样一个 $u(x, y)$ 。 （1）$(x+2 y) \mathrm{d} x+(2 x+y) \mathrm{d} y$ ； （2）$\left(2 x+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y$ ； （3）$\left(6 x y+2 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^{2}+4 x y\right) \mathrm{d} y$ ； （4） $2 \sin 2 x \sin 3 y \mathrm{~d} x-3 \cos 2 x \cos 3 y \mathrm{~d} y$ ； （5）$\left(3 x^{2} y+x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-y \sin y\right) \mathrm{d} y$ ； （6）$\left(3 x^{2} y^{2}+8 x y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+12 x^{2} y^{2}+y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们逐一验证并求解。 对于全微分，需要验证 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$ 在整个平面上成立，然后求原函数 $u(x,y)$。
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### （1） $P = x+2y,\quad Q = 2x+y$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 2,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2 $$ 相等，故为全微分。 求 $u$： $$ u = \int P\,dx = \int (x+2y)\,dx = \frac{x^2}{2} + 2xy + \phi(y) $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 2x + \phi'(y) = Q = 2x + y $$ 得 $\phi'(y) = y$，所以 $\phi(y) = \frac{y^2}{2} + C$。 因此 $$ u(x,y) = \frac{x^2}{2} + 2xy + \frac{y^2}{2} + C $$
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### （2） $P = 2x + e^y,\quad Q = x e^y - 2y$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = e^y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = e^y $$ 相等，全微分。 $$ u = \int P\,dx = \int (2x + e^y)\,dx = x^2 + x e^y + \phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x e^y + \phi'(y) = x e^y - 2y $$ 得 $\phi'(y) = -2y$，所以 $\phi(y) = -y^2 + C$。 因此 $$ u(x,y) = x^2 + x e^y - y^2 + C $$
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### （3） $P = 6xy + 2y^2,\quad Q = 3x^2 + 4xy$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 6x + 4y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 6x + 4y $$ 相等，全微分。 $$ u = \int P\,dx = \int (6xy + 2y^2)\,dx = 3x^2 y + 2xy^2 + \phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 3x^2 + 4xy + \phi'(y) = 3x^2 + 4xy $$ 得 $\phi'(y) = 0$，所以 $\phi(y) = C$。 因此 $$ u(x,y) = 3x^2 y + 2xy^2 + C $$
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### （4） $P = 2\sin 2x \sin 3y,\quad Q = -3\cos 2x \cos 3y$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 2\sin 2x \cdot 3\cos 3y = 6\sin 2x \cos 3y $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -3(-\sin 2x \cdot 2)\cos 3y = 6\sin 2x \cos 3y $$ 相等，全微分。 $$ u = \int P\,dx = \int 2\sin 2x \sin 3y\,dx = -\cos 2x \sin 3y + \phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -\cos 2x \cdot 3\cos 3y + \phi'(y) = -3\cos 2x \cos 3y + \phi'(y) $$ 令其等于 $Q = -3\cos 2x \cos 3y$，得 $\phi'(y) = 0$，所以 $\phi(y) = C$。 因此 $$ u(x,y) = -\cos 2x \sin 3y + C $$
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### （5） $P = 3x^2 y + x e^x,\quad Q = x^3 - y\sin y$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2 $$ 相等，全微分。 $$ u = \int P\,dx = \int (3x^2 y + x e^x)\,dx = x^3 y + (x e^x - e^x) + \phi(y) $$ （因为 $\int x e^x\,dx = x e^x - e^x$） 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x^3 + \phi'(y) = x^3 - y\sin y $$ 得 $\phi'(y) = -y\sin y$，积分得 $$ \phi(y) = -\int y\sin y\,dy = y\cos y - \sin y + C $$ 因此 $$ u(x,y) = x^3 y + x e^x - e^x + y\cos y - \sin y + C $$
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### （6） $P = 3x^2 y^2 + 8xy^3,\quad Q = 2x^3 y + 12x^2 y^2 + y e^y$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 6x^2 y + 24xy^2 $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 6x^2 y + 24xy^2 $$ 相等，全微分。 $$ u = \int P\,dx = \int (3x^2 y^2 + 8xy^3)\,dx = x^3 y^2 + 4x^2 y^3 + \phi(y) $$ 对 $y$ 求导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 2x^3 y + 12x^2 y^2 + \phi'(y) = 2x^3 y + 12x^2 y^2 + y e^y $$ 得 $\phi'(y) = y e^y$，积分得 $$ \phi(y) = \int y e^y\,dy = (y-1)e^y + C $$ 因此 $$ u(x,y) = x^3 y^2 + 4x^2 y^3 + (y-1)e^y + C $$
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**难度评级：★★☆☆☆** （主要考察全微分条件判断与积分求原函数，计算量适中，无复杂技巧。）