📝 题目
14．确定函数 $\alpha(x) 、 \beta(x)$ ，使当
$$ P(x, y)=(x \alpha(x)+\beta(x)) y^{2}+3 x^{2} y, Q(x, y)=y \alpha(x)+\beta(x), $$
其中 $\alpha(0)=-1, \beta(0)=0$ 时，曲线积分 $\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 与路径无关；并求出 $u(x, y)$ ，使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**第一步：曲线积分与路径无关的条件** 曲线积分与路径无关等价于 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$ 对任意 $x, y$ 成立。
已知 $$ P(x,y) = (x\alpha(x)+\beta(x))y^2 + 3x^2 y $$ $$ Q(x,y) = y\alpha(x) + \beta(x) $$
计算偏导数：
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = 2(x\alpha(x)+\beta(x))y + 3x^2 $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = y\alpha'(x) + \beta'(x) $$
令二者相等： $$ 2(x\alpha(x)+\beta(x))y + 3x^2 = y\alpha'(x) + \beta'(x) $$
**第二步：比较系数** 上式对任意 $y$ 成立，故 $y$ 的一次项和常数项分别相等：
$$ \begin{cases} 2(x\alpha(x)+\beta(x)) = \alpha'(x) \$$2mm] 3x^2 = \beta'(x) \end{cases} $$
**第三步：求解 $\beta(x)$** 由第二式积分得： $$ \beta(x) = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C $$ 利用条件 $\beta(0)=0$，得 $C=0$，故 $$ \beta(x) = x^3 $$
**第四步：求解 $\alpha(x)$** 将 $\beta(x)=x^3$ 代入第一式： $$ 2(x\alpha(x) + x^3) = \alpha'(x) $$ 即 $$ \alpha'(x) - 2x\alpha(x) = 2x^3 $$
这是一阶线性微分方程，通解公式： $$ \alpha(x) = e^{\int 2x\,dx} \left( \int 2x^3 e^{-\int 2x\,dx} dx + C \right) $$ $$ = e^{x^2} \left( \int 2x^3 e^{-x^2} dx + C \right) $$
计算积分：令 $t = x^2$，则 $dt = 2x dx$， $$ \int 2x^3 e^{-x^2} dx = \int x^2 e^{-x^2} \cdot 2x dx = \int t e^{-t} dt $$ 分部积分： $$ \int t e^{-t} dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C_1 = -e^{-t}(t+1) + C_1 $$ 代回 $t = x^2$： $$ \int 2x^3 e^{-x^2} dx = -e^{-x^2}(x^2+1) + C_1 $$
因此： $$ \alpha(x) = e^{x^2} \left( -e^{-x^2}(x^2+1) + C \right) = -(x^2+1) + C e^{x^2} $$
利用条件 $\alpha(0) = -1$： $$ \alpha(0) = -1 + C = -1 \quad\Rightarrow\quad C=0 $$ 所以 $$ \alpha(x) = -(x^2+1) $$
**第五步：求原函数 $u(x,y)$** 已知 $$ P = (x(-(x^2+1)) + x^3) y^2 + 3x^2 y = (-x^3 - x + x^3) y^2 + 3x^2 y = -x y^2 + 3x^2 y $$ $$ Q = y(-(x^2+1)) + x^3 = -x^2 y - y + x^3 $$
由 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = P = -x y^2 + 3x^2 y $$ 对 $x$ 积分： $$ u(x,y) = \int (-x y^2 + 3x^2 y) dx = -\frac{x^2}{2} y^2 + x^3 y + \varphi(y) $$
再由 $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -x^2 y + x^3 + \varphi'(y) = Q = -x^2 y - y + x^3 $$ 比较得： $$ \varphi'(y) = -y \quad\Rightarrow\quad \varphi(y) = -\frac{y^2}{2} + C $$
取 $C=0$，得： $$ u(x,y) = -\frac{x^2 y^2}{2} + x^3 y - \frac{y^2}{2} $$
**最终结果** $$ \boxed{\alpha(x)=-(x^2+1),\quad \beta(x)=x^3} $$ $$ \boxed{u(x,y)=x^3y - \frac{1}{2}x^2y^2 - \frac{1}{2}y^2} $$
难度：★★★☆☆