第7章 · 第7-5-13题

[AI解答]

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**第一步：全微分条件** 给定方程 $$ f(x) y \, dx + \left( \frac{3}{2} \sin 2x - f'(x) \right) dy = 0 $$ 要成为全微分方程，需存在函数 $F(x,y)$ 使得 $$ \frac{\partial F}{\partial x} = f(x)y, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x). $$ 由混合偏导数相等条件： $$ \frac{\partial}{\partial y}\left( f(x)y \right) = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x) \right). $$ 左边： $$ \frac{\partial}{\partial y}(f(x)y) = f(x). $$ 右边： $$ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x) \right) = 3\cos 2x - f''(x). $$ 因此得到 $$ f(x) = 3\cos 2x - f''(x). $$ 即 $$ f''(x) + f(x) = 3\cos 2x. $$

**第二步：解微分方程求 $f(x)$** 齐次方程 $f''+f=0$ 通解： $$ f_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x. $$ 非齐次项 $3\cos 2x$，设特解形式 $f_p = A\cos 2x$，代入： $$ (-4A\cos 2x) + (A\cos 2x) = -3A\cos 2x = 3\cos 2x, $$ 得 $A = -1$。所以 $$ f(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \cos 2x. $$ 利用初始条件： $f(0) = C_1 - 1 = -1 \Rightarrow C_1 = 0$。 $f'(x) = C_2 \cos x + 2\sin 2x$， $f'(0) = C_2 = 1$。 因此 $$ f(x) = \sin x - \cos 2x. $$

**第三步：求原函数 $F(x,y)$** 由 $$ \frac{\partial F}{\partial x} = (\sin x - \cos 2x) y, $$ 积分得 $$ F(x,y) = \int (\sin x - \cos 2x) y \, dx = y(-\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x) + \varphi(y). $$ 又由 $$ \frac{\partial F}{\partial y} = -\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x + \varphi'(y) = \frac{3}{2}\sin 2x - f'(x). $$ 而 $f'(x) = \cos x + 2\sin 2x$，所以右边为 $$ \frac{3}{2}\sin 2x - (\cos x + 2\sin 2x) = -\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x. $$ 对比得 $\varphi'(y)=0$，即 $\varphi(y)=C$（常数）。取 $C=0$，则 $$ F(x,y) = -y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = 0 $$ 为通积分。

**第四步：过点 $(\pi,1)$ 的积分曲线** 代入 $x=\pi, y=1$： $$ F(\pi,1) = -1\left( \cos\pi + \frac{1}{2}\sin 2\pi \right) = -1(-1+0)=1. $$ 所以所求积分曲线为 $$ -y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = 1, $$ 即 $$ y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = -1. $$

**最终答案** $$ \boxed{f(x)=\sin x - \cos 2x,\quad y\left( \cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \right) = -1} $$

难度：★★★☆☆