📝 题目
12．求下列微分方程的通解． （1）$\left(4 x^{2} y-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}-3 x y\right) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$\left(y-x \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ； （3）$\left(x y+\sqrt{1-x^{2} y^{2}}\right) \mathrm{d} x+x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 给定方程： $$ (4x^2 y - 3y^2) \mathrm{d}x + (x^3 - 3xy) \mathrm{d}y = 0 $$ 检查是否为恰当微分方程： $$ M = 4x^2 y - 3y^2,\quad N = x^3 - 3xy $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 4x^2 - 6y,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^2 - 3y $$ 二者不相等，故不是恰当方程。尝试找积分因子。计算： $$ \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(4x^2 - 6y) - (3x^2 - 3y)}{x^3 - 3xy} = \frac{x^2 - 3y}{x(x^2 - 3y)} = \frac{1}{x} $$ 仅与 $x$ 有关，故积分因子为： $$ \mu(x) = e^{\displaystyle{}\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} = e^{\ln|x|} = x $$ 乘以 $x$ 得新方程： $$ (4x^3 y - 3xy^2) \mathrm{d}x + (x^4 - 3x^2 y) \mathrm{d}y = 0 $$ 此时： $$ \tilde{M} = 4x^3 y - 3xy^2,\quad \tilde{N} = x^4 - 3x^2 y $$ 检查： $$ \frac{\partial \tilde{M}}{\partial y} = 4x^3 - 6xy,\quad \frac{\partial \tilde{N}}{\partial x} = 4x^3 - 6xy $$ 相等，故为恰当方程。求原函数 $u(x,y)$： $$ u = \int \tilde{M} \mathrm{d}x = \int (4x^3 y - 3xy^2) \mathrm{d}x = x^4 y - \frac{3}{2}x^2 y^2 + \varphi(y) $$ 对 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial u}{\partial y} = x^4 - 3x^2 y + \varphi'(y) $$ 令其等于 $\tilde{N} = x^4 - 3x^2 y$，得 $\varphi'(y)=0$，故 $\varphi(y)=C$。 通解为： $$ x^4 y - \frac{3}{2}x^2 y^2 = C $$
**（2）** 方程： $$ (y - x\sqrt{x^2 + y^2}) \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y = 0 $$ 改写为： $$ y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y = x\sqrt{x^2 + y^2} \mathrm{d}x $$ 两边除以 $x^2$（假设 $x \neq 0$）： $$ \frac{y \mathrm{d}x - x \mathrm{d}y}{x^2} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \mathrm{d}x $$ 左边是 $\mathrm{d}\left(\frac{y}{x}\right)$，令 $u = \frac{y}{x}$，则右边： $$ \frac{\sqrt{x^2 + u^2 x^2}}{x} = \sqrt{1+u^2} $$ 得到： $$ \mathrm{d}u = \sqrt{1+u^2} \ \mathrm{d}x $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = \mathrm{d}x $$ 积分： $$ \ln\left| u + \sqrt{1+u^2} \right| = x + C $$ 回代 $u = y/x$： $$ \ln\left| \frac{y}{x} + \sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}} \right| = x + C $$ 即： $$ \ln\left| \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} \right| = x + C $$ 通解为： $$ \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x} = C e^{x} $$
**（3）** 方程： $$ \left(xy + \sqrt{1 - x^2 y^2}\right) \mathrm{d}x + x^2 \mathrm{d}y = 0 $$ 改写为： $$ x^2 \mathrm{d}y = -\left(xy + \sqrt{1 - x^2 y^2}\right) \mathrm{d}x $$ 除以 $x^2$： $$ \mathrm{d}y = -\left( \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^2 y^2}}{x^2} \right) \mathrm{d}x $$ 令 $u = xy$，则 $y = u/x$，微分得： $$ \mathrm{d}y = \frac{x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x}{x^2} $$ 代入方程： $$ \frac{x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x}{x^2} = -\left( \frac{u}{x^2} + \frac{\sqrt{1-u^2}}{x^2} \right) \mathrm{d}x $$ 两边乘以 $x^2$： $$ x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x = -\left( u + \sqrt{1-u^2} \right) \mathrm{d}x $$ 化简： $$ x \mathrm{d}u = -\sqrt{1-u^2} \ \mathrm{d}x $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}} = -\frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \arcsin u = -\ln|x| + C $$ 回代 $u = xy$： $$ \arcsin(xy) = -\ln|x| + C $$ 通解为： $$ \arcsin(xy) + \ln|x| = C $$
**难度评级**：★★★☆☆ （涉及恰当方程、积分因子、变量代换与三角反函数积分，需要一定技巧。）