📝 题目
26．求抛物柱面 $z=\frac{1}{2} x^{2}$ 含在由平面 $x=1, y=0$ 及 $y=x$ 所围成的柱体内部的那部分曲面的面积。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求的是抛物柱面 $ z = \frac{1}{2} x^{2} $ 被限制在区域 $$ 0 \le y \le x,\quad 0 \le x \le 1 $$ 内的那部分曲面的面积。 由于曲面方程中 $ z $ 只依赖于 $ x $，且 $ y $ 是自由的，因此曲面面积公式为 $$ S = \iint_{D} \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2}} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $$ 这里 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $$ 所以被积函数为 $$ \sqrt{1 + x^{2}} $$ 区域 $ D $ 由 $$ 0 \le y \le x,\quad 0 \le x \le 1 $$ 给出。因此面积 $$ S = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} \sqrt{1 + x^{2}} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x $$ 先对 $ y $ 积分： $$ \int_{0}^{x} \mathrm{d}y = x $$ 于是 $$ S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} \,\mathrm{d}x $$ 令 $ u = 1 + x^{2} $，则 $ \mathrm{d}u = 2x \,\mathrm{d}x $，即 $ x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u $。 当 $ x=0 $ 时 $ u=1 $，当 $ x=1 $ 时 $ u=2 $，所以 $$ S = \int_{1}^{2} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \,\mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{1/2} \,\mathrm{d}u = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right) $$ 即 $$ S = \frac{1}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) $$
难度：★★☆☆☆