📝 题目
6．把对坐标的曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 化为对面积的曲面积分，其中： （1）$\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+2 \sqrt{3} z=6$ 在第一卦限部分的上侧； （2）$\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧； （3）$\displaystyle{\sum}$ 是平面 $z+x=1$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 截取的部分的下侧； （4）$\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $y=2 x^{2}+z^{2}$ 被平面 $y=2$ 截取的部分的左侧。
💡 答案与解析
[AI解答]
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将曲面积分从对坐标的形式化为对面积的形式，核心公式为： $$ \iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{\Sigma} (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\,dS $$ 其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为曲面指定侧的单位法向量。
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### （1）平面 $3x+2y+2\sqrt{3}z=6$ 在第一卦限部分的上侧
曲面法向量为 $\vec{n} = (3,2,2\sqrt{3})$，上侧即法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角，此处 $n_z = 2\sqrt{3} > 0$，故取正方向。
单位法向量： $$ \cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{3^2+2^2+(2\sqrt{3})^2}} = \frac{3}{\sqrt{9+4+12}} = \frac{3}{5} $$ $$ \cos\beta = \frac{2}{5},\quad \cos\gamma = \frac{2\sqrt{3}}{5} $$ 因此化为： $$ \iint_{\Sigma} \left( \frac{3}{5}P + \frac{2}{5}Q + \frac{2\sqrt{3}}{5}R \right) dS $$
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### （2）旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 被 $z=1$ 截取部分的下侧
曲面方程 $F(x,y,z) = z - x^2 - y^2 = 0$，梯度： $$ \nabla F = (-2x, -2y, 1) $$ 下侧要求法向量与 $z$ 轴正向夹角为钝角，即 $n_z < 0$，故取负梯度方向： $$ \vec{n} = (2x, 2y, -1) $$ 单位化： $$ \cos\alpha = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}},\quad \cos\beta = \frac{2y}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}},\quad \cos\gamma = \frac{-1}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}} $$ 因此： $$ \iint_{\Sigma} \frac{2xP + 2yQ - R}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}\,dS $$
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### （3）平面 $z + x = 1$ 被柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 截取部分的下侧
平面法向量为 $(1,0,1)$，下侧要求法向量与 $z$ 轴正向夹角为钝角，即 $n_z < 0$，故取 $(-1,0,-1)$。
单位化： $$ \cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}},\quad \cos\beta = 0,\quad \cos\gamma = \frac{-1}{\sqrt{2}} $$ 因此： $$ \iint_{\Sigma} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}P + 0\cdot Q -\frac{1}{\sqrt{2}}R \right) dS = -\frac{1}{\sqrt{2}} \iint_{\Sigma} (P+R)\,dS $$
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### （4）抛物面 $y = 2x^2 + z^2$ 被平面 $y=2$ 截取部分的左侧
曲面方程 $F(x,y,z)= y - 2x^2 - z^2 = 0$，梯度： $$ \nabla F = (-4x, 1, -2z) $$ 左侧要求法向量与 $y$ 轴正向夹角为钝角（即指向 $y$ 负方向），故取负梯度： $$ \vec{n} = (4x, -1, 2z) $$ 单位化： $$ \cos\alpha = \frac{4x}{\sqrt{16x^2 + 1 + 4z^2}},\quad \cos\beta = \frac{-1}{\sqrt{16x^2 + 1 + 4z^2}},\quad \cos\gamma = \frac{2z}{\sqrt{16x^2 + 1 + 4z^2}} $$ 因此： $$ \iint_{\Sigma} \frac{4xP - Q + 2zR}{\sqrt{16x^2 + 4z^2 + 1}}\,dS $$
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**难度评级**：★★★☆☆ （需理解方向与法向量符号的对应关系，并正确单位化，但计算不复杂）