📝 题目
5．设稳定的、不可压缩的流体的速度场为
$$ \boldsymbol{v}(x, y, z)=x z \boldsymbol{i}+x^{2} y \boldsymbol{j}+y^{2} z \boldsymbol{k}, $$
$\sum$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 的外侧被平面 $z=0, z=1$ 及 $x=0$ 截取的位于第一、四卦限的部
分，计算流体流向 $\sum$ 指定一侧的流量 $\Phi$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：明确问题与公式**
流量 $\Phi$ 的计算公式为： $$ \Phi = \iint_{\Sigma} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S $$ 其中 $\boldsymbol{n}$ 是指向指定一侧的单位法向量。题中指定为“外侧”，即指向圆柱面外部。
**步骤2：分析曲面与投影**
曲面 $\Sigma$ 是圆柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 的一部分，位于第一、四卦限，即 $y$ 可取正负，但 $x \ge 0$，且被平面 $z=0$ 与 $z=1$ 截取。由于是圆柱外侧，法向量方向为径向向外，即 $\boldsymbol{n} = (x, y, 0)$（单位化后为 $(x, y, 0)$，因为圆柱面法向水平）。
**步骤3：转化为二重积分**
对于圆柱面 $x^2+y^2=1$，面积元 $\mathrm{d}S = \mathrm{d}s \cdot \mathrm{d}z$，其中 $\mathrm{d}s$ 是圆弧长度微元。参数化：令 $x = \cos\theta,\ y = \sin\theta$，则 $\theta$ 范围对应第一、四卦限且 $x\ge 0$，即 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。此时外侧法向量为 $(\cos\theta, \sin\theta, 0)$。
速度场在柱面上： $$ \boldsymbol{v} = (x z,\ x^2 y,\ y^2 z) = (\cos\theta \cdot z,\ \cos^2\theta \sin\theta,\ \sin^2\theta \cdot z) $$
点乘： $$ \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} = (\cos\theta \cdot z)\cos\theta + (\cos^2\theta \sin\theta)\sin\theta + (\sin^2\theta \cdot z)\cdot 0 $$ $$ = z\cos^2\theta + \cos^2\theta \sin^2\theta $$
面积元：$\mathrm{d}S = \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z$（因为圆柱半径=1，弧长微元为 $\mathrm{d}\theta$）。
**步骤4：建立积分并计算**
$$ \Phi = \int_{z=0}^{1} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \left( z\cos^2\theta + \cos^2\theta \sin^2\theta \right) \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z $$
先对 $\theta$ 积分： $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} $$
第二项： $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2\theta \sin^2\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{4} \sin^2 2\theta \, \mathrm{d}\theta $$ 利用 $\sin^2 2\theta = \frac{1-\cos 4\theta}{2}$，得： $$ \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1-\cos 4\theta}{2} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{8} \left( \pi \right) = \frac{\pi}{8} $$
因此对 $\theta$ 积分结果为： $$ z \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} $$
**步骤5：对 $z$ 积分**
$$ \Phi = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{2} z + \frac{\pi}{8} \right) \mathrm{d}z = \left[ \frac{\pi}{4} z^2 + \frac{\pi}{8} z \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8} $$
**最终答案：** $$ \boxed{\dfrac{3\pi}{8}} $$
难度评级：★★★☆☆ （需理解曲面积分、参数化及对称性，但计算不复杂）