📝 题目
12．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 化为对弧长的曲线积分，其中 $L$分别如下。 （1）$x O y$ 面内从点 $(0,0)$ 到点 $(3,4)$ 的直线段； （2）抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$ 的曲线弧； （3）沿上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**基本思路**： 对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的转换公式为 $$ \int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L \left( P\cos\alpha + Q\cos\beta \right) \, ds, $$ 其中 $(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为曲线 $L$ 上某点处切向量的方向余弦，且满足 $$ \cos\alpha = \frac{dx}{ds},\quad \cos\beta = \frac{dy}{ds}. $$
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### （1）直线段从 $(0,0)$ 到 $(3,4)$
直线参数方程： $$ x = 3t,\quad y = 4t,\quad t:0\to 1. $$ 则 $$ \frac{dx}{dt}=3,\quad \frac{dy}{dt}=4,\quad ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt = \sqrt{3^2+4^2}\,dt = 5\,dt. $$ 方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{dx}{ds} = \frac{3}{5},\quad \cos\beta = \frac{dy}{ds} = \frac{4}{5}. $$ 因此 $$ \int_L P\,dx+Q\,dy = \int_L \left( \frac{3}{5}P + \frac{4}{5}Q \right) ds. $$
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### （2）抛物线 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,4)$
取 $x$ 为参数： $$ x=x,\quad y=x^2,\quad x:0\to 2. $$ 则 $$ \frac{dx}{dx}=1,\quad \frac{dy}{dx}=2x,\quad ds = \sqrt{1+(2x)^2}\,dx = \sqrt{1+4x^2}\,dx. $$ 方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{dx}{ds} = \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}},\quad \cos\beta = \frac{dy}{ds} = \frac{2x}{\sqrt{1+4x^2}}. $$ 因此 $$ \int_L P\,dx+Q\,dy = \int_L \left( \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}P + \frac{2x}{\sqrt{1+4x^2}}Q \right) ds. $$
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### （3）上半圆周 $x^2+y^2=2x$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$
先将方程化为标准形式： $$ x^2-2x+y^2=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2+y^2=1. $$ 这是圆心在 $(1,0)$、半径 $R=1$ 的上半圆。 参数方程（取角度参数）： $$ x = 1+\cos\theta,\quad y = \sin\theta, $$ 起点 $(0,0)$ 对应 $\theta=\pi$，终点 $(1,1)$ 对应 $\theta=\frac{\pi}{2}$。 注意这是上半圆，$\theta$ 从 $\pi$ 到 $\frac{\pi}{2}$（逆时针方向）。
求导： $$ \frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta,\quad \frac{dy}{d\theta} = \cos\theta, $$ $$ ds = \sqrt{(-\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2}\,d\theta = 1\cdot d\theta. $$ 方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{dx}{ds} = -\sin\theta,\quad \cos\beta = \frac{dy}{ds} = \cos\theta. $$ 因此 $$ \int_L P\,dx+Q\,dy = \int_L \left( -\sin\theta\,P + \cos\theta\,Q \right) ds, $$ 其中 $P,Q$ 中的 $x,y$ 用参数 $\theta$ 表示。
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**难度评级**：★★☆☆☆