📝 题目
7．估计积分值 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=[1,2] \times[0,1]$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：确定积分区域与函数性质** 积分区域为矩形 $ D = [1,2] \times [0,1] $，被积函数为 $$ f(x,y) = x + y + 1 $$ 该函数在闭区域 $ D $ 上连续，因此存在最大值与最小值，可用估值定理： $$ m \cdot S \le I \le M \cdot S $$ 其中 $ S $ 是区域 $ D $ 的面积，$ m = \min_{(x,y)\in D} f(x,y) $，$ M = \max_{(x,y)\in D} f(x,y) $。
**步骤2：计算区域面积** $$ S = (2-1) \times (1-0) = 1 $$
**步骤3：求函数在区域上的最值** 由于 $ x \in [1,2] $，$ y \in [0,1] $，且函数关于 $ x, y $ 均单调递增： - 最小值在 $ x=1, y=0 $ 处取得： $$ m = 1 + 0 + 1 = 2 $$ - 最大值在 $ x=2, y=1 $ 处取得： $$ M = 2 + 1 + 1 = 4 $$
**步骤4：代入估值不等式** $$ 2 \cdot 1 \le I \le 4 \cdot 1 $$ 即 $$ 2 \le I \le 4 $$
**步骤5：精确计算验证（可选）** 实际积分值为 $$ I = \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} (x+y+1) \, dy \, dx = \int_{1}^{2} \left[ xy + \frac{y^2}{2} + y \right]_{0}^{1} dx = \int_{1}^{2} \left( x + \frac{1}{2} + 1 \right) dx = \int_{1}^{2} \left( x + \frac{3}{2} \right) dx $$ $$ = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}x \right]_{1}^{2} = \left( 2 + 3 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \right) = 5 - 2 = 3 $$ 可见 $ I=3 $ 确实在区间 $[2,4]$ 内。
**最终估值结果** $$ \boxed{2 \le I \le 4} $$
难度：★☆☆☆☆（直接应用二重积分估值定理，计算简单）