📝 题目
8．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=[-1,1] \times[-2,2]$ ， $D_{2}=[0,1] \times[0,2]$ ，试说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 的关系．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，我们分析两个积分区域和被积函数。 被积函数为 $(x^2+y^2)^3$，它关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，即 $$ f(-x,y)=f(x,y),\quad f(x,-y)=f(x,y). $$
区域 $D_1=[-1,1]\times[-2,2]$ 关于 $x=0$ 和 $y=0$ 均对称。 区域 $D_2=[0,1]\times[0,2]$ 恰好是 $D_1$ 在第一象限的部分。
由于被积函数是偶函数，且区域对称，因此整个区域上的积分等于第一象限部分积分的 4 倍。 即 $$ I_1 = 4 \iint_{D_2} (x^2+y^2)^3 \, d\sigma = 4 I_2. $$
因此，$I_1$ 与 $I_2$ 的关系为 $$ \boxed{I_1 = 4 I_2}. $$
难度：★☆☆☆☆