📝 题目
6．利用二重积分的性质估计积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ 的值，其中 $D$ 是矩形闭区域： $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2$.
💡 答案与解析
[AI解答]
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**步骤1：确定被积函数在区域上的取值范围** 区域 $ D = [0,1] \times [0,2] $，被积函数 $ f(x,y) = x + y + 1 $。 由于 $ x \in [0,1], y \in [0,2] $，显然 $ f(x,y) $ 是连续且单调递增的，因此其最小值与最大值分别在区域的左下角与右上角取得：
最小值： $$ m = f(0,0) = 0 + 0 + 1 = 1 $$ 最大值： $$ M = f(1,2) = 1 + 2 + 1 = 4 $$
因此在整个区域 $ D $ 上有： $$ 1 \le x + y + 1 \le 4 $$
**步骤2：计算区域面积** 区域 $ D $ 是矩形，面积： $$ A(D) = (1-0) \times (2-0) = 2 $$
**步骤3：利用二重积分估值性质** 由二重积分的不等式性质： $$ m \cdot A(D) \le \iint_D (x+y+1)\, \mathrm{d}\sigma \le M \cdot A(D) $$ 代入得： $$ 1 \times 2 \le I \le 4 \times 2 $$ 即： $$ 2 \le I \le 8 $$
因此，积分 $ I $ 的值介于 $ 2 $ 与 $ 8 $ 之间。
难度：★☆☆☆☆