📝 题目
5．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma, I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma, I_{3}=\displaystyle{\iint}_{D} \sin ^{2}(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$ D=\left\{(x, y) \mid x \geqslant 0, y \geqslant 0, \frac{1}{2} \leqslant x+y \leqslant 1\right\}, $$
比较 $I_{1} 、 I_{2} 、 I_{3}$ 的大小。
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们首先分析被积函数在区域 $D$ 上的取值范围。 区域 $D$ 的条件是： $$ x \ge 0,\quad y \ge 0,\quad \frac12 \le x+y \le 1. $$ 因此，令 $t = x+y$，则 $t \in \left[\frac12, 1\right]$。
现在比较三个被积函数在 $t \in [\frac12, 1]$ 上的大小关系：
1. 对于 $I_1$，被积函数为 $\ln(x+y) = \ln t$。 在区间 $[\frac12, 1]$ 上，$\ln t \le 0$，且当 $t=1$ 时取最大值 $0$，当 $t=\frac12$ 时取最小值 $\ln\frac12 = -\ln 2 < 0$。
2. 对于 $I_2$，被积函数为 $(x+y)^2 = t^2$，在区间上恒正，取值范围为 $\left[\frac14, 1\right]$。
3. 对于 $I_3$，被积函数为 $\sin^2(x+y) = \sin^2 t$，在区间上恒非负，且 $\sin^2 t \le 1$，在 $t=\frac12$ 时 $\sin^2(0.5) \approx 0.2298$，在 $t=1$ 时 $\sin^2 1 \approx 0.708$。
由于区域 $D$ 的面积相同（均为正），比较积分大小只需比较被积函数在区域上的整体大小关系。 对于任意 $(x,y) \in D$，有： $$ \ln(x+y) \le 0 \le \sin^2(x+y) \le (x+y)^2 $$ 最后的不等式是因为当 $t \in (0,1]$ 时，$\sin t \le t$，因此 $\sin^2 t \le t^2$，且等号仅在 $t=0$ 时成立，而此处 $t \ge 0.5$，所以严格有 $\sin^2 t < t^2$。
因此，在整个区域 $D$ 上： $$ \ln(x+y) \;<\; \sin^2(x+y) \;<\; (x+y)^2. $$
由于积分保持不等号方向，得到： $$ I_1 < I_3 < I_2. $$
最终大小顺序为： $$ \boxed{I_1 < I_3 < I_2} $$
难度：★★☆☆☆ （主要考察比较被积函数在区域上的大小，无需具体计算积分值）