📝 题目
4．比较 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ 与 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 的大小，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则 $\_\_\_\_$。 A．$I_{1}=I_{2}$ B．$I_{1}\lt I_{2}$ C．$I_{1}\gt I_{2}$ D．无法比较
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要比较积分 $$ I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma,\quad I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma $$ 的大小，其中区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$。
在区域 $D$ 内，对于任意点 $(x,y)$，有 $$ 0 \le x^{2}+y^{2} \le 1 $$ 因此，在 $D$ 上，比较被积函数： $$ x^{2}+y^{2} \quad\text{与}\quad (x^{2}+y^{2})^{2} $$ 由于 $0 \le r \le 1$ 时，有 $$ r^{2} \ge r^{4} $$ （因为 $r^{2}(1 - r^{2}) \ge 0$），并且等号仅在 $r=0$ 或 $r=1$ 时成立，而在区域内部严格有 $r^{2} > r^{4}$。 于是，在 $D$ 上几乎处处有 $$ x^{2}+y^{2} > (x^{2}+y^{2})^{2} $$ 由积分保序性可知： $$ I_{1} > I_{2} $$
因此正确答案是 C．$I_{1}\gt I_{2}$。
难度：★☆☆☆☆