📝 题目
1．计算下列对弧长的曲线积分． （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{L} \sqrt{y} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 介于点 $(0,0)$ 与点 $(1,1)$ 之间的那一段弧； （3） $\displaystyle{\int}_{L} x \sin y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为连接点 $(0,0)$ 与点 $(3 \pi, \pi)$ 的直线段； （4） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y^{2}=4 x$ 上连接点 $(0,0)$ 与点 $(1,2)$ 的直线段； （5） $\displaystyle{\int}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=2 x^{2}-1$ 上连接点 $(0,0)$ 与点 $(1,2)$ 的一段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为连接点 $(1,0)$ 与点 $(0,1)$ 的直线段； （7）$\displaystyle{\oint}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为直线 $y=x$ 与抛物线 $y=x^{2}$ 所围成的区域的整个边界； （8）$\displaystyle{\oint}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{L} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=R x, y \geqslant 0$ ； （10）$\displaystyle{\oint}_{L} \mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限内所围成的区域的整个边界； （11）$\displaystyle{\oint}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为直线 $x=0, y=0, x=4, y=2$ 所围成的矩形区域的整个边界； （12） $\displaystyle{\int}_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array} \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ ； （13）$\displaystyle{\oint}_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x(y \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴在第一象限内所围成的区域的整个边界； （14） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=\mathrm{e}^{t} \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^{t}$ 相应于 $t$ 从 0 变到 2的一段弧； （15） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x y z \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为有向折线段 $O A B$ ，点 $O 、 A 、 B$ 的坐标依次为 $(0,0,0)$ ， $(1,2,3),(1,4,3)$ ； （16）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 与平面 $x=y$ 的交线； （17）$\displaystyle{\oint}_{L}(x+y) \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆弧 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 与直线 $y=x, y=-x$ 所围成的扇形
区域的整个边界。
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细解答过程。
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### （1） 曲线为第一象限的圆弧，参数化： $x = a\cos\theta,\ y = a\sin\theta,\ \theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$， 弧微分 $\mathrm{d}s = a\,\mathrm{d}\theta$，被积函数 $(x^2+y^2)^n = a^{2n}$。 则 $$ \oint_L (x^2+y^2)^n \mathrm{d}s = \int_0^{\frac{\pi}{2}} a^{2n} \cdot a\,\mathrm{d}\theta = a^{2n+1}\cdot\frac{\pi}{2}. $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （2） 曲线 $y=x^2$，$x\in[0,1]$， $\mathrm{d}s = \sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x$， 被积函数 $\sqrt{y}=x$。 则 $$ \int_L \sqrt{y}\,\mathrm{d}s = \int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x. $$ 令 $u=1+4x^2$，$\mathrm{d}u=8x\,\mathrm{d}x$，$x\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{8}$， 当 $x=0$ 时 $u=1$，$x=1$ 时 $u=5$， $$ \int_1^5 \sqrt{u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{8} = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^5 = \frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1). $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （3） 直线段从 $(0,0)$ 到 $(3\pi,\pi)$，参数化： $x=3\pi t,\ y=\pi t,\ t\in[0,1]$， $\mathrm{d}s = \sqrt{(3\pi)^2+(\pi)^2}\,\mathrm{d}t = \pi\sqrt{10}\,\mathrm{d}t$， 被积函数 $x\sin y = 3\pi t \sin(\pi t)$。 则 $$ \int_L x\sin y\,\mathrm{d}s = \int_0^1 3\pi t\sin(\pi t)\cdot\pi\sqrt{10}\,\mathrm{d}t = 3\pi^2\sqrt{10}\int_0^1 t\sin(\pi t)\,\mathrm{d}t. $$ 分部积分： $\int t\sin(\pi t)\,\mathrm{d}t = -\frac{t\cos(\pi t)}{\pi} + \frac{\sin(\pi t)}{\pi^2}$， 代入上下限得 $\frac{1}{\pi}$。 结果为 $$ 3\pi^2\sqrt{10}\cdot\frac{1}{\pi} = 3\pi\sqrt{10}. $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （4） 曲线 $y^2=4x$ 上从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$，以 $y$ 为参数： $x = \frac{y^2}{4},\ y\in[0,2]$， $\mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{dx}{dy}\right)^2+1}\,\mathrm{d}y = \sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^2+1}\,\mathrm{d}y = \frac{\sqrt{y^2+4}}{2}\,\mathrm{d}y$， 被积函数 $y$。 则 $$ \int_L y\,\mathrm{d}s = \int_0^2 y\cdot\frac{\sqrt{y^2+4}}{2}\,\mathrm{d}y. $$ 令 $u=y^2+4$，$\mathrm{d}u=2y\,\mathrm{d}y$，$y\,\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{d}u}{2}$， $y=0\to u=4$，$y=2\to u=8$， $$ \int_4^8 \sqrt{u}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_4^8 = \frac{1}{6}(16\sqrt{2}-8) = \frac{8}{3}(2\sqrt{2}-1). $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （5） 曲线 $y=2x^2-1$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$，注意 $(0,0)$ 不在曲线上？检查：$x=0$ 时 $y=-1$，故起点应为 $(0,-1)$，但题目写 $(0,0)$ 可能有误。按实际曲线，取 $x\in[0,1]$，$y=2x^2-1$， $\mathrm{d}s = \sqrt{1+(4x)^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1+16x^2}\,\mathrm{d}x$， 被积函数 $x$。 则 $$ \int_L x\,\mathrm{d}s = \int_0^1 x\sqrt{1+16x^2}\,\mathrm{d}x. $$ 令 $u=1+16x^2$，$\mathrm{d}u=32x\,\mathrm{d}x$，$x\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{32}$， $x=0\to u=1$，$x=1\to u=17$， $$ \int_1^{17} \sqrt{u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{32} = \frac{1}{32}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^{17} = \frac{1}{48}(17\sqrt{17}-1). $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （6） 直线段从 $(1,0)$ 到 $(0,1)$，参数化： $x=1-t,\ y=t,\ t\in[0,1]$， $\mathrm{d}s = \sqrt{(-1)^2+1^2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{2}\,\mathrm{d}t$， 被积函数 $x+y = 1$。 则 $$ \int_L (x+y)\,\mathrm{d}s = \int_0^1 1\cdot\sqrt{2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{2}. $$
**难度：★☆☆☆☆**
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### （7） 区域边界由 $y=x$ 和 $y=x^2$ 组成，交点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。 - 沿 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$： $x\in[0,1]$，$\mathrm{d}s = \sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x$， 积分 $\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1)$（同(2)类似计算）。 - 沿 $y=x$ 从 $(1,1)$ 回到 $(0,0)$： $x$ 从 $1$ 到 $0$，$\mathrm{d}s = \sqrt{2}\,\mathrm{d}x$， 积分 $\int_1^0 x\sqrt{2}\,\mathrm{d}x = -\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，但弧长积分与方向无关，取绝对值，实际应为 $\int_0^1 x\sqrt{2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 总和： $$ \oint_L x\,\mathrm{d}s = \frac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}. $$
**难度：★★★☆☆**
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### （8） 圆周 $x^2+y^2=1$，参数化 $x=\cos\theta,\ y=\sin\theta,\ \theta\in[0,2\pi]$， $\mathrm{d}s = \mathrm{d}\theta$，被积函数 $|y| = |\sin\theta|$。 由对称性， $$ \oint_L |y|\,\mathrm{d}s = 4\int_0^{\pi/2} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 4\cdot1 = 4. $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （9） 上半圆周 $x^2+y^2 = Rx$，即 $(x-\frac{R}{2})^2+y^2 = (\frac{R}{2})^2$，$y\ge0$。 参数化：$x = \frac{R}{2}(1+\cos\theta),\ y = \frac{R}{2}\sin\theta,\ \theta\in[0,\pi]$， $\mathrm{d}s = \frac{R}{2}\,\mathrm{d}\theta$， 被积函数 $\sqrt{R^2 - x^2 - y^2} = \sqrt{R^2 - R x} = \sqrt{R(R - x)}$。 而