📝 题目
10．设有一质量为 $m$ 的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线弧从点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 移动到点 $B\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，求其重力做功。
💡 答案与解析
[AI解答]
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设质点质量为 $ m $，重力加速度为 $ g $，取铅直向上为 $ y $ 轴正方向，则重力可表示为 $$ \boldsymbol{F} = (0, -mg). $$ 质点沿曲线 $ L $ 从 $ A(x_0, y_0) $ 移动到 $ B(x_1, y_1) $，重力做功为 $$ W = \int_{L} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}. $$ 其中 $ d\boldsymbol{r} = (dx, dy) $，因此 $$ W = \int_{L} (0, -mg) \cdot (dx, dy) = \int_{L} -mg \, dy. $$ 由于被积函数只与 $ y $ 有关，曲线积分可化为对 $ y $ 的定积分： $$ W = \int_{y_0}^{y_1} -mg \, dy = -mg (y_1 - y_0) = mg(y_0 - y_1). $$ 因此，重力做功只与起点和终点的竖直高度差有关，与路径无关，结果为 $$ \boxed{W = mg(y_0 - y_1)}. $$
难度：★☆☆☆☆