📝 题目
11．计算下列二重（二次）积分。 （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x}^{3 x}(x-y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} x \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} x y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $|x|=2,|y|=1$ 所围闭区域； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} y \cos (x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \pi$ 所确定的闭区域； （5） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=x, y=2 x, y=1$ 围成的闭区域； （6） $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $y=3 x, y=x, x=1, x=3$ 所确定的闭区域； （7）设 $D$ 是由 $y=2, y=x, y=2 x$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}-x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （8）设 $D$ 是由 $x=0, y=\pi, y=x$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D} \sin (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （9）设 $D$ 是由 $x=\sqrt{y}, x=3-2 y, y=0$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ； （10）设 $D$ 是由 $x=0, y=0,2 x+y=4$ 所确定的闭区域，求 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(4-x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ； （11）设 $D$ 是由 $y=x, x=y^{2}$ 所围闭区域，求二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是习题7-1第（1）至（11）小题的详细解答，均采用LaTeX格式，并包含完整步骤。
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### （1） $$ \int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{x}^{3x} (x-y) \, \mathrm{d}y $$
先对 $y$ 积分： $$ \int_{x}^{3x} (x-y) \, \mathrm{d}y = \left[ x y - \frac{y^{2}}{2} \right]_{y=x}^{y=3x} = \left( 3x^{2} - \frac{9x^{2}}{2} \right) - \left( x^{2} - \frac{x^{2}}{2} \right) = \left( -\frac{3x^{2}}{2} \right) - \left( \frac{x^{2}}{2} \right) = -2x^{2} $$
再对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{1} (-2x^{2}) \, \mathrm{d}x = -2 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} $$
**答案**：$\displaystyle -\frac{2}{3}$
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### （2） $$ \iint_{D} x e^{-2x} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D=[0,1]\times[0,1] $$
先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{1} x e^{-2x} \, \mathrm{d}y = x e^{-2x} \cdot 1 = x e^{-2x} $$
再对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{1} x e^{-2x} \, \mathrm{d}x $$ 用分部积分： $$ = \left[ -\frac{x e^{-2x}}{2} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{e^{-2x}}{2} \, \mathrm{d}x = -\frac{e^{-2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left[ -\frac{e^{-2x}}{2} \right]_{0}^{1} = -\frac{e^{-2}}{2} - \frac{1}{4}(e^{-2} - 1) = -\frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{3e^{-2}}{4} + \frac{1}{4} $$
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3}{4e^{2}}$
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### （3） $$ \iint_{D} x y^{2} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: |x|\le 2, |y|\le 1 $$
区域为矩形，可分离变量： $$ \int_{-2}^{2} x \, \mathrm{d}x \cdot \int_{-1}^{1} y^{2} \, \mathrm{d}y $$ 第一个积分为零（奇函数对称区间），故结果为0。
**答案**：$\displaystyle 0$
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### （4） $$ \iint_{D} y \cos(xy) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: 0\le x\le 1,\ 0\le y\le \pi $$
先对 $x$ 积分： $$ \int_{0}^{1} y \cos(xy) \, \mathrm{d}x = \left[ \sin(xy) \right]_{x=0}^{x=1} = \sin y $$
再对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin y \, \mathrm{d}y = \left[ -\cos y \right]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2 $$
**答案**：$\displaystyle 2$
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### （5） $$ \iint_{D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: y=x,\ y=2x,\ y=1 $$
区域由三条直线围成，用 $y$ 型积分：$y$ 从 0 到 1，$x$ 从 $y/2$ 到 $y$： $$ \int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y/2}^{y} \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \left( y - \frac{y}{2} \right) \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{y}{2} \, \mathrm{d}y = \frac{1}{4} $$
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}$
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### （6） $$ \iint_{D} \frac{y}{x} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: y=3x,\ y=x,\ x=1,\ x=3 $$
先对 $y$ 积分： $$ \int_{x}^{3x} \frac{y}{x} \, \mathrm{d}y = \frac{1}{x} \cdot \left[ \frac{y^{2}}{2} \right]_{x}^{3x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{9x^{2} - x^{2}}{2} = \frac{1}{x} \cdot 4x^{2} = 4x $$
再对 $x$ 积分： $$ \int_{1}^{3} 4x \, \mathrm{d}x = 2x^{2} \Big|_{1}^{3} = 18 - 2 = 16 $$
**答案**：$\displaystyle 16$
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### （7） $$ \iint_{D} (x^{2}+y^{2}-x) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: y=2,\ y=x,\ y=2x $$
交点：$y=x$ 与 $y=2x$ 交于原点，与 $y=2$ 交于 $(2,2)$ 和 $(1,2)$。用 $y$ 型：$y$ 从 0 到 2，$x$ 从 $y/2$ 到 $y$： $$ \int_{0}^{2} \mathrm{d}y \int_{y/2}^{y} (x^{2}+y^{2}-x) \, \mathrm{d}x $$
先对 $x$ 积分： $$ \int_{y/2}^{y} (x^{2} - x + y^{2}) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + y^{2}x \right]_{y/2}^{y} $$ 计算： 在 $x=y$：$\frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2} + y^{3} = \frac{4y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2}$ 在 $x=y/2$：$\frac{y^{3}}{24} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{y^{3}}{2} = \frac{13y^{3}}{24} - \frac{y^{2}}{8}$
相减： $$ \left( \frac{4}{3} - \frac{13}{24} \right) y^{3} + \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) y^{2} = \left( \frac{32}{24} - \frac{13}{24} \right) y^{3} + \left( -\frac{4}{8} + \frac{1}{8} \right) y^{2} = \frac{19}{24} y^{3} - \frac{3}{8} y^{2} $$
再对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{2} \left( \frac{19}{24} y^{3} - \frac{3}{8} y^{2} \right) \mathrm{d}y = \frac{19}{24} \cdot \frac{16}{4} - \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{19}{24} \cdot 4 - 1 = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6} $$
**答案**：$\displaystyle \frac{13}{6}$
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### （8） $$ \iint_{D} \sin(x+y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: x=0,\ y=\pi,\ y=x $$
区域：$x$ 从 0 到 $\pi$，$y$ 从 $x$ 到 $\pi$： $$ \int_{0}^{\pi} \mathrm{d}x \int_{x}^{\pi} \sin(x+y) \, \mathrm{d}y $$
先对 $y$ 积分： $$ \int_{x}^{\pi} \sin(x+y) \, \mathrm{d}y = \left[ -\cos(x+y) \right]_{y=x}^{y=\pi} =