第7章 · 第7-1-12题

[AI解答]

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**（1）区域由直线 $y=x, y=3x, x=1, x=2$ 围成**

首先画出区域： - 水平方向：$x$ 从 1 到 2。 - 对于固定的 $x$，下方直线为 $y=x$，上方直线为 $y=3x$。 因此先对 $y$ 后对 $x$ 的次序为： $$ I = \int_{x=1}^{2} \int_{y=x}^{3x} f(x,y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x. $$

若要交换次序，先对 $x$ 后对 $y$，则需分析 $y$ 的范围。 当 $x=1$ 时，$y$ 从 1 到 3；当 $x=2$ 时，$y$ 从 2 到 6。 因此 $y$ 的整体范围是从 1 到 6。 - 当 $y \in [1,2]$ 时，左边直线为 $x = y$（由 $y=x$ 得），右边直线为 $x=2$。 - 当 $y \in [2,3]$ 时，左边直线为 $x = \frac{y}{3}$（由 $y=3x$ 得），右边直线为 $x=2$。 - 当 $y \in [3,6]$ 时，左边直线为 $x = \frac{y}{3}$，右边直线为 $x=2$。 其实更精确地，对于 $y$ 在 1 到 3 时，左边界由 $y=x$ 和 $y=3x$ 共同决定，但这里由于 $x$ 从 1 到 2，所以：

分段如下： $$ I = \int_{y=1}^{2} \int_{x=y}^{2} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \int_{y=2}^{3} \int_{x=\frac{y}{3}}^{2} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \int_{y=3}^{6} \int_{x=\frac{y}{3}}^{2} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. $$ 实际上中间两段可以合并，因为当 $y\in[2,3]$ 与 $y\in[3,6]$ 时左边界都是 $x=y/3$，但要注意 $y\in[2,3]$ 时左边界也可能是 $x=y$？检查：当 $y=2.5$，$x=y=2.5$ 超出 $x=2$ 吗？不，但 $x$ 下限应取哪个？在 $y=2.5$ 时，从图中看，左边是 $y=3x$ 即 $x=y/3\approx 0.833$，而 $y=x$ 即 $x=2.5$ 已经超出区域（因为 $x$ 最大为2），所以实际上对于 $y>2$，左边界都是 $x=y/3$。因此可以合并为：

$$ I = \int_{y=1}^{2} \int_{x=y}^{2} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \int_{y=2}^{6} \int_{x=\frac{y}{3}}^{2} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. $$

**（2）区域由直线 $x+y=1, x-y=1, x=0$ 围成**

先找出交点： - $x=0$ 与 $x+y=1$ 交于 $(0,1)$。 - $x=0$ 与 $x-y=1$ 交于 $(0,-1)$。 - $x+y=1$ 与 $x-y=1$ 联立得 $x=1, y=0$。 因此区域是三角形，顶点 $(0,1), (0,-1), (1,0)$。

先对 $y$ 后对 $x$： $x$ 从 0 到 1。 对于固定的 $x$，下方直线为 $x-y=1 \Rightarrow y = x-1$，上方直线为 $x+y=1 \Rightarrow y = 1-x$。 所以： $$ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x-1}^{1-x} f(x,y) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x. $$

交换次序，先对 $x$ 后对 $y$： $y$ 的范围从 -1 到 1。 - 当 $y \in [-1,0]$ 时，左边是 $x=0$，右边直线由 $x-y=1$ 得 $x = 1+y$。 - 当 $y \in [0,1]$ 时，左边是 $x=0$，右边直线由 $x+y=1$ 得 $x = 1-y$。 因此： $$ I = \int_{y=-1}^{0} \int_{x=0}^{1+y} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y + \int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{1-y} f(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （基础题，主要考察积分区域划分与积分次序交换，分段稍需细心）