📝 题目
13．交换下列二次积分的积分顺序。 （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{3} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{3 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{0}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{1}^{y} f(x, y) \mathrm{d} x+\displaystyle{\int}_{2}^{4} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{\frac{y}{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{1-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y+\displaystyle{\int}_{1}^{2} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{0}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 a} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{\sqrt{2 a x-x^{2}}}^{\sqrt{2 a x}} f(x, y) \mathrm{d} y(a\gt 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下依次交换各题积分次序，并给出完整步骤。
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### （1） 原积分： $$ I = \int_{0}^{3} dx \int_{x^{2}}^{3x} f(x,y)\,dy $$ 积分区域： $$ D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 3,\; x^{2} \le y \le 3x\} $$ 画出区域，曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = 3x$ 交于 $x=0$ 和 $x=3$，对应 $y=0$ 与 $y=9$。 对固定的 $y$，$x$ 的范围：由 $y = x^{2}$ 得 $x = \sqrt{y}$，由 $y = 3x$ 得 $x = y/3$。 注意当 $y$ 从 0 到 9 时，$\sqrt{y} \le y/3$ 成立吗？检查：在 $y=0$ 相等，在 $y=9$ 时 $\sqrt{9}=3$，$y/3=3$，中间有 $\sqrt{y} \le y/3$ 当且仅当 $y \ge 9$？实际上解 $\sqrt{y} \le y/3$ 得 $y \ge 9$，因此对于 $0
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### （2） 原积分： $$ I = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{y} f(x,y)\,dx $$ 区域： $$ D = \{(x,y) \mid 0 \le y \le 1,\; 0 \le x \le y\} $$ 即三角形区域，边界为 $x=0$，$y=1$，$y=x$。 交换次序：固定 $x$ 从 0 到 1，$y$ 从 $x$ 到 1： $$ I = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} f(x,y)\,dy $$
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### （3） 原积分： $$ I = \int_{1}^{2} dy \int_{1}^{y} f\,dx + \int_{2}^{4} dy \int_{y/2}^{2} f\,dx $$ 第一部分区域：$1\le y\le 2$，$1\le x\le y$，即三角形区域，顶点 $(1,1),(1,2),(2,2)$。 第二部分区域：$2\le y\le 4$，$y/2 \le x \le 2$，即梯形区域，顶点 $(1,2),(2,2),(2,4),(1,4)$？注意 $y=2$ 时 $x$ 从 1 到 2，$y=4$ 时 $x$ 从 2 到 2（点），所以整体区域是 $x$ 从 1 到 2，$y$ 的下边界：当 $1\le x\le 2$ 时，下边界由第一部分得 $y=x$，上边界由第二部分得 $y=4$？但第一部分只到 $y=2$，第二部分从 $y=2$ 到 $y=4$，且下边界为 $y=2x$？注意第二部分 $x\ge y/2 \Rightarrow y\le 2x$，所以上边界是 $y=2x$？检查：第二部分积分 $x$ 从 $y/2$ 到 2，即 $x\ge y/2$，所以 $y\le 2x$，因此对于固定 $x$，$y$ 从下边界到上边界：下边界是 $y=x$（来自第一部分，当 $x\le 2$ 且 $y\ge x$），上边界是 $y=2x$（来自第二部分，当 $x\le 2$ 且 $y\le 2x$），但需注意 $y$ 最大为 4，所以当 $x\ge 2$ 时？实际上 $x$ 范围是 1 到 2。 因此合并后区域： $$ D = \{(x,y) \mid 1\le x\le 2,\; x\le y\le 2x\} $$ 但需验证：当 $x=1$，$y$ 从 1 到 2，正确；当 $x=2$，$y$ 从 2 到 4，正确。 所以交换次序后： $$ I = \int_{1}^{2} dx \int_{x}^{2x} f(x,y)\,dy $$
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### （4） 原积分： $$ I = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} f(x,y)\,dy $$ 区域：三角形，$0\le x\le 1$，$0\le y\le 1-x$。 交换次序：固定 $y$ 从 0 到 1，$x$ 从 0 到 $1-y$： $$ I = \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-y} f(x,y)\,dx $$
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### （5） 原积分： $$ I = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{\sqrt{2x-x^{2}}} f\,dy + \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{2-x} f\,dy $$ 第一部分：$0\le x\le 1$，$0\le y\le \sqrt{2x-x^{2}}$，即半圆 $y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}$ 的下半？实际上是圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的上半部分，$x\in[0,1]$ 对应左半圆。 第二部分：$1\le x\le 2$，$0\le y\le 2-x$，即直线 $y=2-x$ 下方的三角形。 整体区域：由 $y=0$，圆 $y=\sqrt{2x-x^{2}}$（从 $x=0$ 到 $x=1$），直线 $y=2-x$（从 $x=1$ 到 $x=2$）围成。 交换次序：固定 $y$，$x$ 的范围： 当 $0\le y\le 1$ 时，左边界为圆方程：$x=1-\sqrt{1-y^{2}}$（因为圆左半），右边界为直线：$x=2-y$。 注意 $y=1$ 时，左边界 $x=1$，右边界 $x=1$，重合。 因此： $$ I = \int_{0}^{1} dy \int_{1-\sqrt{1-y^{2}}