📝 题目
10．计算二重积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D} f(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，函数 $f(u)$ 在 $D$ 上连续．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求解二重积分 $$ I = \iint_{D} f(x+y) \operatorname{sgn}(x-y) \, \mathrm{d}\sigma $$ 其中 $D = [0,1]\times[0,1]$，且 $f$ 连续， 符号函数定义为 $$ \operatorname{sgn}(t) = \begin{cases} 1, & t > 0, \\ 0, & t = 0, \\ -1, & t < 0. \end{cases} $$
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**步骤1：划分区域** 在正方形 $D$ 中，直线 $x = y$ 将区域分成两部分： - 区域 $D_1$：$x > y$，此时 $\operatorname{sgn}(x-y)=1$； - 区域 $D_2$：$x < y$，此时 $\operatorname{sgn}(x-y)=-1$； 直线上的点集测度为零，不影响积分值。
因此， $$ I = \iint_{D_1} f(x+y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y \;-\; \iint_{D_2} f(x+y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y. $$
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**步骤2：变量代换** 令 $$ u = x+y,\quad v = x-y. $$ 则变换的雅可比行列式为 $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{2}. $$ 原正方形区域映射为 $$ 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1 $$ 等价于 $$ 0 \le \frac{u+v}{2} \le 1,\quad 0 \le \frac{u-v}{2} \le 1, $$ 即 $$ 0 \le u+v \le 2,\quad 0 \le u-v \le 2. $$ 这可以整理为 $$ |v| \le u \le 2 - |v|,\quad -1 \le v \le 1. $$ 于是积分变为 $$ I = \iint_{D'} f(u) \operatorname{sgn}(v) \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}u\mathrm{d}v, $$ 其中 $D'$ 是 $(u,v)$ 平面上的平行四边形区域。
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**步骤3：利用对称性** 由于被积函数中 $\operatorname{sgn}(v)$ 是 $v$ 的奇函数，而区域关于 $v=0$ 对称（因为 $|v|$ 条件）， 对任意固定的 $u$，$v$ 的积分区间为 $[-u, u]$ 当 $0\le u\le 1$，以及 $[-(2-u), 2-u]$ 当 $1\le u\le 2$， 但无论如何，奇函数在对称区间上的积分为零。
因此： $$ I = \frac12 \int_{u=0}^{2} f(u) \left( \int_{v: \text{对称区间}} \operatorname{sgn}(v) \, \mathrm{d}v \right) \mathrm{d}u = 0. $$
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**最终结果** $$ \boxed{0} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （需要理解符号函数的分区性质以及利用对称性简化，但计算量不大，属于中等偏易题。）