📝 题目
1．计算 $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ ： （1）$\{(x, y)|x| \leqslant 1,|y| \leqslant 2\}$ ； （2）$\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\}$ ； （3）$\left\{(x, y) \mid 1^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 3^{2}\right\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题7-1** 计算二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$，即求区域 $D$ 的面积。
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### （1）$D = \{(x, y) \mid |x| \leqslant 1, |y| \leqslant 2\}$
该区域为矩形： $x$ 从 $-1$ 到 $1$，$y$ 从 $-2$ 到 $2$。 面积可直接由长宽乘积得到：
$$ \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \text{长} \times \text{宽} = (1 - (-1)) \times (2 - (-2)) = 2 \times 4 = 8. $$
或者用累次积分：
$$ \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x \int_{-2}^{2} \mathrm{d}y = \int_{-1}^{1} \left[ y \right]_{-2}^{2} \mathrm{d}x = \int_{-1}^{1} 4 \, \mathrm{d}x = 4 \times 2 = 8. $$
**结果：** $\boxed{8}$
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### （2）$D = \left\{(x, y) \mid \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right\}$
这是椭圆区域：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$，其中 $a=2, b=1$。 椭圆面积公式为 $\pi a b$，因此：
$$ \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi. $$
**结果：** $\boxed{2\pi}$
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### （3）$D = \left\{(x, y) \mid 1^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 3^{2}\right\}$
这是圆环区域：内半径 $r=1$，外半径 $r=3$。 面积等于大圆面积减去小圆面积：
$$ \iint_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \pi \cdot 3^2 - \pi \cdot 1^2 = 9\pi - \pi = 8\pi. $$
**结果：** $\boxed{8\pi}$
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**难度评级：★☆☆☆☆** （直接使用面积公式或简单累次积分即可）