📝 题目
8．有一段铁丝成半圆形 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知铁丝形状为半圆 $ y = \sqrt{a^2 - x^2} $，其中 $ -a \le x \le a $，且线密度 $\rho(x, y) = y$。 质量计算公式为对弧长的曲线积分：
$$ m = \int_{L} \rho(x, y) \, \mathrm{d}s = \int_{L} y \, \mathrm{d}s $$
将曲线参数化： 令 $ x = a\cos t,\; y = a\sin t $，其中 $ t $ 从 $ 0 $ 到 $ \pi $（上半圆）。 弧长微元为：
$$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2} \, \mathrm{d}t = a \, \mathrm{d}t $$
于是质量积分为：
$$ m = \int_{0}^{\pi} (a\sin t) \cdot a \, \mathrm{d}t = a^{2} \int_{0}^{\pi} \sin t \, \mathrm{d}t $$
计算定积分：
$$ \int_{0}^{\pi} \sin t \, \mathrm{d}t = \left[ -\cos t \right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2 $$
因此：
$$ m = a^{2} \cdot 2 = 2a^{2} $$
最终结果为：
$$ \boxed{2a^{2}} $$
难度：★☆☆☆☆