📝 题目
10．设函数 $f(t)$ 连续，且 $f(0)=0, F(t)=\displaystyle{\iiint}_{\Omega_{t}}\left[z^{2}+f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega_{t}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, 0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们已知 $$ F(t)=\iiint_{\Omega_t}\left[z^2+f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\right] \mathrm{d}v, $$ 其中 $$ \Omega_t=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le t^2,\ 0\le z\le 1\}. $$
这是一个柱形区域，底面半径为 $t$，高为 $1$。采用柱坐标变换： $$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, $$ 体积元 $\mathrm{d}v=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$，积分区域为 $0\le r\le t,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le z\le 1$。
于是 $$ F(t)=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{t}r\,\mathrm{d}r\int_{0}^{1}\left[z^2+f(r)\right]\mathrm{d}z. $$
先对 $z$ 积分： $$ \int_{0}^{1}z^2\,\mathrm{d}z=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}f(r)\,\mathrm{d}z=f(r). $$ 所以 $$ F(t)=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r =2\pi\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r. $$
因此 $$ \frac{F(t)}{t^{2}}=\frac{2\pi}{t^{2}}\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r. $$
当 $t\to0^{+}$ 时，这是 $\frac{0}{0}$ 型极限，用洛必达法则（对 $t$ 求导，注意积分上限求导公式）： $$ \lim_{t\to0^{+}}\frac{F(t)}{t^{2}} =2\pi\lim_{t\to0^{+}}\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r}{2t}. $$
分子导数为 $t\left[\frac{1}{3}+f(t)\right]$，所以 $$ \lim_{t\to0^{+}}\frac{F(t)}{t^{2}} =2\pi\lim_{t\to0^{+}}\frac{t\left[\frac{1}{3}+f(t)\right]}{2t} =2\pi\lim_{t\to0^{+}}\frac{\frac{1}{3}+f(t)}{2}. $$
由已知 $f(0)=0$ 且 $f$ 连续，故 $\displaystyle\lim_{t\to0^{+}}f(t)=0$，所以 $$ \lim_{t\to0^{+}}\frac{F(t)}{t^{2}}=2\pi\cdot\frac{\frac{1}{3}+0}{2}=\frac{\pi}{3}. $$
最终结果为： $$ \boxed{\dfrac{\pi}{3}}. $$
难度：★★☆☆☆