📝 题目
1．化三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 为三次积分（只需先对 $z$ ，次对 $y$ ，后对 $x$ 一种次序），其中积分区域 $\Omega$ 分别如下。 （1）由三个坐标面与平面 $6 x+3 y+2 z-6=0$ 所围成； （2）由旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $z=1$ 所围成； （3）由圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 所围成； （4）由双曲抛物面 $z=x y$ 与平面 $x+y=1, z=0$ 所围成。
💡 答案与解析
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**题目**：将三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x,y,z)\,\mathrm{d}v$ 化为先对 $z$、次对 $y$、后对 $x$ 的三次积分。
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### (1) 区域由三个坐标面与平面 $6x+3y+2z-6=0$ 围成
平面方程改写为： $$ z = \frac{6 - 6x - 3y}{2} = 3 - 3x - \frac{3}{2}y $$ 三个坐标面为 $x=0, y=0, z=0$。 区域 $\Omega$ 在 $xy$ 平面上的投影由 $x=0, y=0$ 以及平面与 $z=0$ 的交线决定： $$ 6x+3y-6=0 \quad\Rightarrow\quad y = 2 - 2x $$ 且 $x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $0$ 到 $2-2x$。 因此积分次序为： $$ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{2-2x} \int_{z=0}^{3-3x-\frac{3}{2}y} f(x,y,z)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
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### (2) 区域由旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=1$ 围成
在 $z$ 方向，从抛物面到平面 $z=1$。 投影到 $xy$ 平面为圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。 先对 $z$ 积分： $$ I = \iint_{x^2+y^2 \le 1} \left( \int_{z=x^2+y^2}^{1} f(x,y,z)\,\mathrm{d}z \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 化为先 $z$、次 $y$、后 $x$ 的三次积分： $$ I = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{z=x^2+y^2}^{1} f(x,y,z)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
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### (3) 区域由圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与上半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 围成
两曲面交线满足： $$ \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2-x^2-y^2} \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2 = 1 $$ 此时 $z=1$。 区域在 $z$ 方向从圆锥面到上半球面，投影为圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。 因此： $$ I = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{z=\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2-x^2-y^2}} f(x,y,z)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
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### (4) 区域由双曲抛物面 $z=xy$ 与平面 $x+y=1, z=0$ 围成
区域在 $z$ 方向从 $z=0$ 到 $z=xy$，但需注意 $xy$ 在区域内的符号。 投影到 $xy$ 平面由 $x+y=1$、$x=0$、$y=0$ 围成的三角形（第一卦限部分），即： $$ 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1-x $$ 在此区域内 $xy \ge 0$，所以： $$ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{xy} f(x,y,z)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x $$
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察空间区域投影与积分限确定，计算量小，但需注意曲面交线和投影形状。）