📝 题目
3．求抛物面壳 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的质量，此壳的面密度为 $\rho=z$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们需要计算抛物面壳的质量，其方程为 $$ z = \frac{1}{2}(x^2 + y^2), \quad 0 \le z \le 1 $$ 面密度为 $\rho = z$。 质量公式为 $$ M = \iint_{S} \rho \, \mathrm{d}S $$ 其中 $\mathrm{d}S$ 是曲面的面积微元。
**步骤1：参数化曲面** 将曲面用极坐标表示，令 $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = \frac{1}{2}r^2 $$ 由 $0 \le z \le 1$ 得 $0 \le r \le \sqrt{2}$，$\theta \in [0, 2\pi)$。
**步骤2：计算面积微元** 对于曲面 $z = f(x,y)$，有 $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 这里 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = y $$ 所以 $$ \sqrt{1 + x^2 + y^2} = \sqrt{1 + r^2} $$ 因此 $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + r^2} \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta $$
**步骤3：代入质量积分** 密度 $\rho = z = \frac{1}{2}r^2$，于是 $$ M = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{2}r^2 \cdot \sqrt{1+r^2} \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta $$ 化简为 $$ M = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1+r^2} \, \mathrm{d}r $$ $$ = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1+r^2} \, \mathrm{d}r $$ $$ = \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1+r^2} \, \mathrm{d}r $$
**步骤4：计算径向积分** 令 $u = 1 + r^2$，则 $r^2 = u - 1$，$r \, \mathrm{d}r = \frac{1}{2} \mathrm{d}u$，且 $r^3 \mathrm{d}r = r^2 \cdot r \mathrm{d}r = (u-1) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}u$。 当 $r=0$ 时 $u=1$；当 $r=\sqrt{2}$ 时 $u=3$。 于是 $$ \int_{0}^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{1+r^2} \, \mathrm{d}r = \int_{1}^{3} (u-1) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{u} \, \mathrm{d}u $$ $$ = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} (u^{3/2} - u^{1/2}) \, \mathrm{d}u $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{3} $$ $$ = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ \frac{1}{5} u^{5/2} - \frac{1}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{3} $$ $$ = \left( \frac{1}{5} u^{5/2} - \frac{1}{3} u^{3/2} \right) \Big|_{1}^{3} $$ 代入 $u=3$ 和 $u=1$： $$ = \left( \frac{1}{5} \cdot 3^{5/2} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3/2} \right) - \left( \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 \right) $$ 注意 $3^{5/2} = 3^2 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$，$3^{3/2} = 3\sqrt{3}$，所以 $$ = \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{3\sqrt{3}}{3} - \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right) $$ $$ = \frac{9\sqrt{3}}{5} - \sqrt{3} - \left( \frac{3}{15} - \frac{5}{15} \right) $$ $$ = \frac{9\sqrt{3}}{5} - \frac{5\sqrt{3}}{5} - \left( -\frac{2}{15} \right) $$ $$ = \frac{4\sqrt{3}}{5} + \frac{2}{15} $$
**步骤5：得到质量** $$ M = \pi \left( \frac{4\sqrt{3}}{5} + \frac{2}{15} \right) $$ $$ = \frac{2\pi}{15} \left( 6\sqrt{3} + 1 \right) $$
因此，抛物面壳的质量为 $$ \boxed{\dfrac{2\pi}{15}\left(6\sqrt{3}+1\right)} $$
难度：★★☆☆☆ （主要涉及曲面积分与变量代换，计算稍繁但思路直接）