📝 题目
2．计算下列对坐标的曲面积分． （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的下半部分的下侧； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(y+1)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧在 $x \geqslant 0$ 的部分； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分的下侧； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限部分的上侧； （5） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 截取的在第一卦限的部分的前侧； （6） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是抛物面 $x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $z=1$ 截取的在第一卦限的部分的前侧； （7） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 满足 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \leqslant 1$ 的那一部分的下侧； （8）$\oiint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant a$ ， $0 \leqslant y \leqslant b, 0 \leqslant z \leqslant c\}$ 整个边界面的外侧； （9）$\oiint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是三个坐标面与平面 $x+y+z=1$ 所围成的空间闭区域的整个边界面的外侧； （10）$\oiint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}$ 的外侧； （11）$\oiint_{\Sigma}-y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $z=0, x+z=2$ 所截的部分的外侧； （12）$\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及平面 $z=1, z=2$ 所围立体表面的外侧； （13）$\oiint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为球壳 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 的外侧．
💡 答案与解析
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以下为各小题的详细解答过程。
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### (1) 曲面：球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 下半部分下侧。 投影到 $xOy$ 平面：$D_{xy}: x^2+y^2 \le a^2$，下侧取负号。 曲面方程：$z = -\sqrt{a^2-x^2-y^2}$。 则 $$ \iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \, dxdy = -\iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \left(-\sqrt{a^2-x^2-y^2}\right) dxdy = \iint_{D_{xy}} x^2 y^2 \sqrt{a^2-x^2-y^2} \, dxdy $$ 用极坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，$dxdy = r dr d\theta$， $$ = \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta \, d\theta \int_{0}^{a} r^4 \sqrt{a^2-r^2} \, r dr $$ 注意 $r^4 \cdot r = r^5$，令 $t = a^2 - r^2$，则 $r^2 = a^2 - t$，$r dr = -\frac12 dt$， $$ \int_0^a r^5 \sqrt{a^2-r^2} dr = \int_{a^2}^0 (a^2-t)^{2} \sqrt{t} \cdot \left(-\frac12 dt\right) = \frac12 \int_0^{a^2} (a^4 - 2a^2 t + t^2) t^{1/2} dt $$ $$ = \frac12 \left( a^4 \cdot \frac{2}{3} a^3 - 2a^2 \cdot \frac{2}{5} a^5 + \frac{2}{7} a^7 \right) = \frac12 \left( \frac{2}{3} a^7 - \frac{4}{5} a^7 + \frac{2}{7} a^7 \right) = \frac12 a^7 \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{2}{7} \right) $$ 通分：公分母105，分子：$70 - 84 + 30 = 16$，所以 $$ = \frac12 a^7 \cdot \frac{16}{105} = \frac{8}{105} a^7 $$ 角度部分：$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta = \frac14 \int_0^{2\pi} \sin^2 2\theta d\theta = \frac14 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$。 因此结果为 $$ \boxed{\frac{2\pi}{105} a^7} $$
难度：★★★☆☆
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### (2) 曲面：球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 外侧在 $x\ge 0$ 部分。 投影到 $yOz$ 平面：$D_{yz}: y^2+z^2 \le 1$，取 $x = \sqrt{1-y^2-z^2}$，外侧对应 $x$ 正方向，故取正号。 $$ \iint_{\Sigma} (y+1)^2 dy dz = \iint_{D_{yz}} (y+1)^2 \, dy dz $$ 用极坐标：$y = r\cos\theta, z = r\sin\theta$，$0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi$， $$ = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r\cos\theta+1)^2 r dr d\theta $$ 展开：$(r\cos\theta+1)^2 = r^2\cos^2\theta + 2r\cos\theta + 1$，乘以 $r$ 得 $r^3\cos^2\theta + 2r^2\cos\theta + r$。 对 $\theta$ 积分： $\int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \pi$，$\int_0^{2\pi} \cos\theta d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} 1 d\theta = 2\pi$。 于是 $$ = \pi \int_0^1 r^3 dr + 2\pi \int_0^1 r dr = \pi \cdot \frac14 + 2\pi \cdot \frac12 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} $$ 结果为 $$ \boxed{\frac{5\pi}{4}} $$
难度：★★☆☆☆
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### (3) 曲面：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $z=1$ 截取下侧。 投影到 $xOy$：$D_{xy}: x^2+y^2\le 1$，下侧取负号。 $$ \iint_{\Sigma} z^2 dxdy = -\iint_{D_{xy}} (x^2+y^2) dxdy $$ 极坐标： $$ = -\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \cdot r dr = -2\pi \cdot \frac14 = -\frac{\pi}{2} $$ 结果为 $$ \boxed{-\frac{\pi}{2}} $$
难度：★☆☆☆☆
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### (4) 曲面：平面 $3x+2y+z=6$ 在第一卦限上侧。 投影到三个坐标面分别计算。 **对 $dydz$**：投影到 $yOz$，由 $x = \frac{6-2y-z}{3}\ge 0$，区域 $D_{yz}: 2y+z\le 6, y\ge0, z\ge0$，上侧对应法向量与 $x$ 轴正向夹角锐角，取正。 $$ \iint_{\Sigma} x dydz = \iint_{D_{yz}} \frac{6-2y-z}{3} dy dz $$ 先对 $z$：$0\le z\le 6-2y$，$0\le y\le 3$， $$ = \frac13 \int_0^3 dy \int_0^{6-2y} (6-2y-z) dz = \frac13 \int_0^3 \frac{(6-2y)^2}{2} dy = \frac16 \int_0^3 (36 - 24y + 4y^2) dy $$ $$ = \frac16 \left[ 36\cdot3 - 12\cdot9 + \frac43 \cdot 27 \right] = \frac16 (108 - 108 + 36) = 6 $$ **对 $dzdx$**：投影到 $zOx$，由 $y = \frac{6-3x-z}{2}\ge0$，区域 $D_{zx}: 3x+z\le 6, x\ge0, z\ge0$，上侧对应法向量与 $y$ 轴正向夹角锐角，取正。 $$ \iint_{\Sigma} xy dzdx = \iint_{D_{zx}} x \cdot \frac{6-3x-z}{2} dz dx $$ 先对 $z$：$0\le z\le 6-3x$，$0\le x\le 2$， $$ = \frac12 \int_0^2 x dx \int_0^{6-3x} (6-3x-z) dz = \frac12 \int_0^2 x \cdot \frac{(6-3x)^2}{2} dx = \frac14 \int_0^2 x (36 - 36x + 9x^2) dx $$ $$ = \frac14 \left[ 18x^2 - 12x^3 + \frac94 x^4 \right]_0^2 = \frac14 (72 - 96 + 36) = \frac14 \cdot 12 = 3 $$ **对 $dxdy$**：投影到 $xOy$，$z = 6-3x-2y\ge0$，区域 $D_{xy}: 3x+2y\le 6, x\ge0, y\ge0$，上侧取正。 $$ \iint_{\Sigma} xz dxdy = \iint_{D_{xy}} x(6-3x-2y) dxdy $$ 先对 $y$：$0\le y\