📝 题目
1．计算下列对面积的曲面积分． （1）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x+\frac{4}{3} y+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第一卦限的部分； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 被平面 $z=\frac{1}{2}$ 截取的顶部； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} y \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $3 x+2 y+z=6$ 在第一卦限的部分； （4）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为圆雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1$ 截取的有限部分； （5）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第一卦限的部分； （6）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是旋转抛物面 $z=2-x^{2}-y^{2}$ 在 $x O y$ 面上方的部分； （7）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{1}{(1+x+y)^{2}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为以点 $(0,0,0),(1,0,0), ~(0,1,0)$, $(0,0,1)$ 为顶点的四面体的整个边界曲面； （8）$I=\oiint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z(a\gt 0)$ ； （9） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被 $x^{2}+y^{2}=2 a x(a\gt 0)$ 所截得的部分； （10）$I=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z^{3} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 在圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 内的部分； （11） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}|x y z| \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 为 $z=x^{2}+y^{2}(z \leqslant 1)$ 的部分； （12） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} S}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是界于平面 $z=0$ 及 $z=H$ 之间的圆柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ．
💡 答案与解析
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以下为各小题的详细解答，均采用对面积的曲面积分（第一类曲面积分）方法，步骤完整。
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### （1） 曲面：$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$，第一卦限部分。 改写为 $z = 4\left(1 - \frac{x}{2} - \frac{y}{3}\right) = 4 - 2x - \frac{4}{3}y$。 投影到 $xOy$ 平面：由 $z\ge0$ 得 $4 - 2x - \frac{4}{3}y \ge 0$，即 $2x + \frac{4}{3}y \le 4$，且 $x\ge0, y\ge0$。 面积元： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -2,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4}{3} $$ $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + (-2)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{1+4+\frac{16}{9}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{\frac{61}{9}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{\sqrt{61}}{3}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 被积函数： $$ 2x + \frac{4}{3}y + z = 2x + \frac{4}{3}y + \left(4 - 2x - \frac{4}{3}y\right) = 4 $$ 所以 $$ I = \iint_{D} 4 \cdot \frac{\sqrt{61}}{3}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{4\sqrt{61}}{3} \cdot \text{面积}(D) $$ 区域 $D$：$x\ge0, y\ge0, 2x + \frac{4}{3}y \le 4$，即三角形，顶点 $(0,0),(2,0),(0,3)$，面积 $=3$。 因此 $$ I = \frac{4\sqrt{61}}{3} \cdot 3 = 4\sqrt{61} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （2） 曲面：$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，且 $z \ge \frac12$，即 $x^2 + y^2 \le 1 - \frac14 = \frac34$。 面积元： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} $$ $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + \frac{x^2 + y^2}{1 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 被积函数 $z^2 = 1 - x^2 - y^2$，所以 $$ I = \iint_{x^2+y^2 \le 3/4} (1 - x^2 - y^2) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D} \sqrt{1 - x^2 - y^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 极坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，$0\le r\le \sqrt{3}/2$，$0\le\theta\le 2\pi$， $$ I = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1 - r^2}\, r\,\mathrm{d}r = 2\pi \cdot \left[-\frac13 (1 - r^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt{3}/2} $$ 计算： $$ = 2\pi \cdot \left(-\frac13\left(1 - \frac34\right)^{3/2} + \frac13\right) = 2\pi \cdot \left(-\frac13 \cdot \frac18 + \frac13\right) = 2\pi \cdot \frac{7}{24} = \frac{7\pi}{12} $$
**难度：★★★☆☆**
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### （3） 曲面：$z = 6 - 3x - 2y$，第一卦限：$x\ge0, y\ge0, 3x+2y\le6$。 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -3,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2 $$ $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1+9+4}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{14}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 被积函数 $y$，所以 $$ I = \iint_D y\sqrt{14}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{14}\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3 - 1.5x} y\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_0^{3 - 1.5x} y\,\mathrm{d}y = \frac12 (3 - 1.5x)^2 $$ 再对 $x$： $$ I = \sqrt{14} \cdot \frac12 \int_0^2 (9 - 9x + 2.25x^2)\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{14}}{2} \left[9x - \frac{9}{2}x^2 + \frac{2.25}{3}x^3\right]_0^2 $$ 计算： $9\cdot2=18$，$-\frac92\cdot4 = -18$，$\frac{2.25}{3}\cdot8 = 6$，和为 $6$，所以 $$ I = \frac{\sqrt{14}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{14} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （4） 曲面：$z = \sqrt{x^2 + y^2}$，$0\le z\le 1$，即 $x^2+y^2\le 1$。 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 被积函数 $x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2 + (x^2+y^2) = 2(x^2+y^2)$，所以 $$ I = \iint_{x^2+y^2\le 1} 2(x^2+y^2) \sqrt{2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\sqrt{2} \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r = 2\sqrt{2} \cdot 2\pi \cdot \frac14 = \pi\sqrt{2} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （5） 曲面：$z = 6 - 2x - 2y$，第一卦限：$x\ge0, y\ge0, 2x+2y\le6$ 即 $x+y\le3$。 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -2,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2 $$ $$ \mathrm{d}S = \sqrt{1+4+4}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 3\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 被积函数： $$ 2xy - 2x^2 - x + z = 2xy - 2x^2 - x + (6 - 2x - 2y) = 2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6 $$ 所以 $$ I = 3\iint_D (2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 区域 $D$：$0\le x\le 3$，$0\le y\le 3-x$。 先对 $y$ 积分： $$ \int_0^{3-x} (2xy - 2x^2 - 3x - 2y + 6)\,\mathrm{d}y $$ 计算： $$ = \left[ xy^2