📝 题目
13．设密度为常量 $\rho$ 的均质物体占据由抛物面 $z=3-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $|x|=1,|y|=1$ ， $z=0$ 所围成的闭区域，试求： （1）物体的质量； （2）物体的质心； （3）物体对于 $z$ 轴的转动惯量。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）物体的质量**
质量公式为 $$ M = \iiint\limits_{\Omega} \rho \, dV $$ 其中区域 $\Omega$ 由 $z=0$ 到抛物面 $z=3-x^{2}-y^{2}$，且 $x$ 与 $y$ 在 $[-1,1]$ 内，同时要求抛物面在平面上方，即 $3-x^{2}-y^{2} \ge 0$。在 $|x|\le 1,|y|\le 1$ 时显然成立。 因此 $$ M = \rho \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-1}^{1} \int_{z=0}^{3-x^{2}-y^{2}} dz\,dy\,dx = \rho \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})\,dy\,dx $$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})\,dy = \left[ (3-x^{2})y - \frac{y^{3}}{3} \right]_{y=-1}^{1} = 2(3-x^{2}) - \frac{2}{3} = 6-2x^{2} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - 2x^{2} $$ 再对 $x$ 积分： $$ M = \rho \int_{-1}^{1} \left( \frac{16}{3} - 2x^{2} \right) dx = \rho \left[ \frac{16}{3}x - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{-1}^{1} = \rho \left( \frac{32}{3} - \frac{4}{3} \right) = \rho \cdot \frac{28}{3} $$ 所以 $$ \boxed{M = \frac{28}{3}\rho} $$
**（2）物体的质心**
由于区域关于 $x=0$ 和 $y=0$ 对称，且密度均匀，质心坐标 $$ \bar{x}=0,\quad \bar{y}=0 $$ 只需计算 $\bar{z}$： $$ \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_{\Omega} z \rho\,dV = \frac{\rho}{M} \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \int_{0}^{3-x^{2}-y^{2}} z\,dz\,dy\,dx $$ 先对 $z$ 积分： $$ \int_{0}^{3-x^{2}-y^{2}} z\,dz = \frac{1}{2}(3-x^{2}-y^{2})^{2} $$ 于是 $$ \bar{z} = \frac{\rho}{M} \cdot \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})^{2}\,dy\,dx $$ 展开被积函数： $$ (3-x^{2}-y^{2})^{2} = 9 + x^{4}+y^{4} -6x^{2} -6y^{2} + 2x^{2}y^{2} $$ 先对 $y$ 积分，利用对称性： $$ \int_{-1}^{1} y^{2}\,dy = \frac{2}{3},\quad \int_{-1}^{1} y^{4}\,dy = \frac{2}{5},\quad \int_{-1}^{1} 1\,dy = 2 $$ 所以 $$ \int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})^{2}\,dy = 2(9-6x^{2}+x^{4}) -6\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{5} + 2x^{2}\cdot\frac{2}{3} $$ 仔细逐项计算： 常数项：$9\cdot 2 = 18$ $-6x^{2}$ 项：$-6x^{2}\cdot 2 = -12x^{2}$ $x^{4}$ 项：$x^{4}\cdot 2 = 2x^{4}$ $-6y^{2}$ 积分：$-6\cdot \frac{2}{3} = -4$ $y^{4}$ 积分：$\frac{2}{5}$ $2x^{2}y^{2}$ 积分：$2x^{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}x^{2}$
合并常数：$18 - 4 + \frac{2}{5} = 14 + \frac{2}{5} = \frac{72}{5}$ 合并 $x^{2}$ 系数：$-12x^{2} + \frac{4}{3}x^{2} = -\frac{32}{3}x^{2}$ 加上 $2x^{4}$，所以 $$ \int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})^{2}\,dy = 2x^{4} - \frac{32}{3}x^{2} + \frac{72}{5} $$ 再对 $x$ 从 $-1$ 到 $1$ 积分： $$ \int_{-1}^{1} 2x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{2}{5} = \frac{4}{5} $$ $$ \int_{-1}^{1} -\frac{32}{3}x^{2}\,dx = -\frac{32}{3}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{64}{9} $$ $$ \int_{-1}^{1} \frac{72}{5}\,dx = \frac{72}{5}\cdot 2 = \frac{144}{5} $$ 总和为 $$ \frac{4}{5} + \frac{144}{5} - \frac{64}{9} = \frac{148}{5} - \frac{64}{9} = \frac{1332 - 320}{45} = \frac{1012}{45} $$ 因此 $$ \bar{z} = \frac{\rho}{M}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1012}{45} = \frac{\rho}{\frac{28}{3}\rho}\cdot\frac{506}{45} = \frac{3}{28}\cdot\frac{506}{45} = \frac{1518}{1260} = \frac{253}{210} $$ 所以质心为 $$ \boxed{(0,\,0,\,\frac{253}{210})} $$
**（3）对 $z$ 轴的转动惯量**
公式： $$ I_{z} = \iiint_{\Omega} \rho (x^{2}+y^{2})\,dV $$ 先对 $z$ 积分： $$ I_{z} = \rho \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2})(3-x^{2}-y^{2})\,dy\,dx $$ 展开： $$ (x^{2}+y^{2})(3-x^{2}-y^{2}) = 3x^{2}+3y^{2} - x^{4} - 2x^{2}y^{2} - y^{4} $$ 先对 $y$ 积分，利用对称性： $$ \int_{-1}^{1} 3x^{2}\,dy = 6x^{2} $$ $$ \int_{-1}^{1} 3y^{2}\,dy = 3\cdot\frac{2}{3}=2 $$ $$ \int_{-1}^{1} -x^{4}\,dy = -2x^{4} $$ $$ \int_{-1}^{1} -2x^{2}y^{2}\,dy = -2x^{2}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{4}{3}x^{2} $$ $$ \int_{-1}^{1} -y^{4}\,dy = -\frac{2}{5} $$ 合并关于 $y$ 的积分结果： 常数项：$2 - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$ $x^{2}$ 项：$6x^{2} - \frac{4}{3}x^{2} = \frac{14}{3}x^{2}$ $x^{4}$ 项：$-2x^{4}$ 所以 $$ \int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2})(3-x^{2}-y^{2})\,dy = -2x^{4} + \frac{14}{3}x^{2} + \frac{8}{5} $$ 再对 $x$ 积分： $$ \int_{-1}^{1} -2x^{4}\,dx = -2\cdot\frac{2}{5} = -\frac{4}{5} $$ $$ \int_{-1}^{1} \frac{14}{3}x^{