📝 题目
10．设稳定且不可压缩的流体的速度场为 $\boldsymbol{v}(x, y, z)=x^{2} \boldsymbol{i}+y^{2} \boldsymbol{j}+z^{2} \boldsymbol{k}, \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+ z^{2}=a^{2}$ 的外侧位于第一卦限的部分。求流体流向 $\displaystyle{\sum}$ 指定一侧的流量 $\Phi$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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本题要求计算不可压缩稳定流体通过球面第一卦限部分外侧的流量。 流量公式为： $$ \Phi = \iint_{\Sigma} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \, dS $$ 其中 $\boldsymbol{n}$ 为指定侧的单位法向量，这里取外侧。
由于曲面是球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$ 在第一卦限的部分，其外侧法向量方向与位置向量方向相同，即： $$ \boldsymbol{n} = \frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{a} $$ 因此： $$ \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} = \frac{x^3 + y^3 + z^3}{a} $$
于是流量为： $$ \Phi = \iint_{\Sigma} \frac{x^3 + y^3 + z^3}{a} \, dS $$
利用对称性，在第一卦限的球面上，$x, y, z$ 地位相同，所以： $$ \iint_{\Sigma} x^3 \, dS = \iint_{\Sigma} y^3 \, dS = \iint_{\Sigma} z^3 \, dS $$ 因此： $$ \Phi = \frac{3}{a} \iint_{\Sigma} x^3 \, dS $$
下面计算 $\displaystyle\iint_{\Sigma} x^3 \, dS$。采用球坐标： $$ x = a\sin\theta\cos\phi,\quad y = a\sin\theta\sin\phi,\quad z = a\cos\theta $$ 第一卦限对应： $$ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2} $$ 球面面积元： $$ dS = a^2 \sin\theta \, d\theta d\phi $$ 于是： $$ \iint_{\Sigma} x^3 \, dS = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} (a\sin\theta\cos\phi)^3 \cdot a^2 \sin\theta \, d\theta d\phi $$ $$ = a^5 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\phi \, d\phi \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta $$
分别计算两个积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\phi \, d\phi = \int_{0}^{\pi/2} \cos\phi (1-\sin^2\phi) \, d\phi $$ 令 $u=\sin\phi$，则： $$ = \int_{0}^{1} (1-u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$
另一个积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{1-\cos2\theta}{2} \right)^2 d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \left(1 - 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta\right) d\theta $$ 而： $$ \int_{0}^{\pi/2} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2},\quad \int_{0}^{\pi/2} \cos2\theta \, d\theta = 0 $$ $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{4} $$ 所以： $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{16} $$
因此： $$ \iint_{\Sigma} x^3 \, dS = a^5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} = a^5 \cdot \frac{\pi}{8} $$
代回流量公式： $$ \Phi = \frac{3}{a} \cdot \frac{\pi a^5}{8} = \frac{3\pi a^4}{8} $$
因此，所求流量为： $$ \boxed{\dfrac{3\pi a^{4}}{8}} $$
难度：★★☆☆☆