📝 题目
1．利用格林公式，计算下列曲线积分． （1）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} x-\left(x-y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（按逆时针方向绕行）； （2）$I=\displaystyle{\oint}_{L} 3 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为矩形区域 $[-1,3] \times[0,2]$ 的正向边界； （3）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是以点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ 为顶点的三角形区域的正向边界； （4）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(1+y^{2}\right) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为 $[0, \pi]$ 上正弦曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin x$ 所围区域的正向边界； （5）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(2 x-y+4) \mathrm{d} x+(3 x+5 y-6) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是以点 $(0,0),(3,0),(3,2)$为顶点的三角形区域的正向边界； （6）$I=\displaystyle{\oint}_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(\cos ^{2} y-2 x\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 在第一象限与 $x$ 轴、 $y$ 轴所围区域的正向边界； （7）$I=\displaystyle{\oint}_{L}\left(2 x y+3 x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-y \cos y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（按逆时针方向绕行）； （8）$I=\displaystyle{\oint}_{L} \frac{1}{x} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} x+\frac{2}{y} \arctan \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4$ 与直线 $y=x, y=\sqrt{3} x$ 在第一象限所围区域的正向边界； （9）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(y+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{2 y}+1\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(4,0)$ 的上半圆周 $y=\sqrt{4 x-x^{2}} ;$ （10）$I=\displaystyle{\int}_{L}(1-\cos y) \mathrm{d} x-x(y-\sin y) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是正弦曲线 $y=\sin x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段弧； （11）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$的一段弧； （12）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(y+\frac{\mathrm{e}^{y}}{x}\right) \mathrm{d} x+\mathrm{e}^{y} \ln x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 是半圆周 $x=1+\sqrt{2 y-y^{2}}$ 从点 $(1,0)$ 到点 $(2, ~ 1)$ 的一段弧； （13）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(1+y \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(x+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是上半椭圆弧 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(y \geqslant 0)$ 从点 $(-a, 0)$到点 $(a, ~ 0)$ 的一段弧； （14）$I=\displaystyle{\int}_{L}(2 x y+3 x \sin x) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-y \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是摆线 $x=t-\sin t, y=1-\cos t$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 2)$ 的一段弧； （15）$I=\displaystyle{\int}_{L}\left(\ln \frac{y}{x}-1\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是从点 $(1,1)$ 到点 $(3,3 \mathrm{e})$ 的不与 $x$ 轴和 $y$ 轴相交的任意一段弧； （16）$I=\displaystyle{\int}_{L}(\sin y-y \sin x+2) \mathrm{d} x+\left(\cos x+x \cos y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是正弦曲线 $y=\sin x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的一段弧； （17）计算曲线积分 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(1+x \mathrm{e}^{2 y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{2 y}-y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为上半圆周 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$
从点 $O(0,0)$ 到点 $A(4,0)$ ； （18）计算曲线积分 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(\mathrm{e}^{x} \sin y-m y\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x} \cos y-m\right) \mathrm{d} y(m\gt 0)$ ，其中 $L$ 为 $y=\sqrt{a x-x^{2}}$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(a, 0)(a\gt 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的解答，均利用格林公式（或补线后用格林公式）将曲线积分转化为二重积分计算。
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### （1） 被积表达式： $P = x^2 + y$，$Q = -(x - y^2) = -x + y^2$ 则 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -1,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1 $$ 由格林公式： $$ I = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \iint_D (-1 - 1) dxdy = -2 \iint_D dxdy $$ $D$ 为椭圆区域，面积 $S = \pi a b$，故 $$ I = -2\pi a b $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （2） $P = 3xy$，$Q = x^2$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 3x $$ 格林公式： $$ I = \iint_D (2x - 3x) dxdy = -\iint_D x \, dxdy $$ 矩形 $[-1,3]\times[0,2]$，先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{2} dy \int_{-1}^{3} x dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{3} = 2 \cdot \frac{9 - 1}{2} = 8 $$ 所以 $$ I = -8 $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （3） $P = (x+y)^2$，$Q = -(x^2+y^2)$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2(x+y) $$ 格林公式： $$ I = \iint_D \left( -2x - 2(x+y) \right) dxdy = -2 \iint_D (2x + y) dxdy $$ 三角形顶点 $(0,0),(1,0),(0,1)$，区域 $0\le x\le 1, 0\le y\le 1-x$ 先对 $y$ 积分： $$ \int_0^1 dx \int_0^{1-x} (2x + y) dy = \int_0^1 \left[ 2x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} \right] dx $$ 计算： $$ = \int_0^1 \left( 2x - 2x^2 + \frac{1 - 2x + x^2}{2} \right) dx = \int_0^1 \left( \frac12 + x - \frac{3}{2}x^2 \right) dx $$ $$ = \left[ \frac12 x + \frac{x^2}{2} - \frac12 x^3 \right]_0^1 = \frac12 + \frac12 - \frac12 = \frac12 $$ 故 $$ I = -2 \cdot \frac12 = -1 $$
**难度：★★★☆☆**
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### （4） $P = 1+y^2$，$Q = y$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2y $$ 格林公式： $$ I = \iint_D (0 - 2y) dxdy = -2 \iint_D y \, dxdy $$ 区域由 $y=\sin x$ 和 $y=2\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 围成，先对 $y$ 积分： $$ \int_0^\pi dx \int_{\sin x}^{2\sin x} y\, dy = \int_0^\pi \frac{(2\sin x)^2 - (\sin x)^2}{2} dx = \int_0^\pi \frac{3\sin^2 x}{2} dx $$ $$ = \frac32 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} $$ 所以 $$ I = -2 \cdot \frac{3\pi}{4} = -\frac{3\pi}{2} $$
**难度：★★★☆☆**
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### （5） $P = 2x - y + 4$，$Q = 3x + 5y - 6$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 3,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1 $$ 格林公式： $$ I = \iint_D (3 - (-1)) dxdy = 4 \iint_D dxdy $$ 三角形顶点 $(0,0),(3,0),(3,2)$，面积 $= \frac12 \cdot 3 \cdot 2 = 3$ 故 $$ I = 4 \cdot 3 = 12 $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （6） $P = y + \sin x$，$Q = \cos^2 y - 2x$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = -2,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1 $$ 格林公式： $$ I = \iint_D (-2 - 1) dxdy = -3 \iint_D dxdy $$ 区域为四分之一圆，面积 $= \frac{\pi a^2}{4}$，故 $$ I = -\frac{3\pi a^2}{4} $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （7） $P = 2xy + 3x e^x$，$Q = x^2 - y\cos y$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x $$ 格林公式： $$ I = \iint_D (2x - 2x) dxdy = 0 $$
**难度：★★☆☆☆**
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### （8） $P = \frac{1}{x} \arctan\frac{y}{x}$，$Q = \frac{2}{y} \arctan\frac{x}{y}$ 计算偏导： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{x^2+y^2} $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2+y^2} $$ 格林公式： $$ I = \iint_D \left( \frac{2}{x^2+y^2} - \frac{1}{x^2+y^2} \right) dxdy = \iint_D \frac{1}{x^2+y^2} dxdy $$ 区域为两同心圆与两射线在第一象限围成，极坐标： $$ \theta: \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{3},\quad r: 1 \to 2 $$ $$ I = \int_{\pi/4}^{\pi/3} d\theta \int_1^2 \frac{1}{r^2} \cdot r dr = \int_{\pi/4}^{\pi/3} d\theta \int_1^2 \frac{1}{r} dr = \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) \cdot \ln 2 = \frac{\pi}{12} \ln 2 $$
**难度：★★★★☆**
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### （9） 补线段 $L_1$：从 $(4,0)$ 沿 $x$ 轴回到 $(0,0)$，则 $L + L_1$ 为封闭曲线。 $P = y + x e^{2y}$，$Q = x^2 e^{2y} + 1$ $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x e^{2y},\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 1 + 2x e^{2y} $$ 格林公式： $$ \oint_{L+L_1} = \iint_D (2x e^{2y} - (1+2x e^{2y})) dxdy = -\iint_D dxdy = -\frac12 \pi \cdot 2^2 = -2\pi $$ 沿 $L_1$：$y=0, dy=0$，$x$ 从 $4$ 到 $0$： $$ \int_{L_1} = \int_4^0 (0 + x e^0) dx = \int_4^0 x dx = -8 $$ 故 $$ I = (-2\pi) - (-8) = 8 - 2\pi $$
**难度：★★★★☆**
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