📝 题目
6．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=1(x \geqslant 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 曲线 $L$ 是右半单位圆，即 $x^2 + y^2 = 1$，且 $x \geq 0$。 由于被积函数含有 $|y|$，而曲线关于 $x$ 轴对称，且 $|y|$ 为偶函数，因此可以只计算上半圆再乘以 2。
将曲线参数化： 令 $x = \cos\theta,\ y = \sin\theta$，其中 $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。 弧长微元为 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2}\,\mathrm{d}\theta = \sqrt{(-\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2}\,\mathrm{d}\theta = \mathrm{d}\theta. $$ 于是 $$ \int_{L} |y| \, \mathrm{d}s = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin\theta| \, \mathrm{d}\theta. $$ 由于 $|\sin\theta|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是偶函数，所以 $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin\theta| \, \mathrm{d}\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 2(0 - (-1)) = 2. $$
因此，所求曲线积分为 $$ \boxed{2}. $$
难度：★★☆☆☆