📝 题目
5．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求曲线积分 $$ \int_{L} x y \, \mathrm{d}s $$ 其中 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 在第一象限的部分（即 $x \geq 0, y \geq 0$）。
**步骤1：参数化曲线** 采用椭圆的参数方程： $$ x = a \cos t,\quad y = b \sin t,\quad t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$ 此时 $x \geq 0, y \geq 0$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
**步骤2：计算弧长微元 $\mathrm{d}s$** $$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t $$ 其中 $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -a \sin t,\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = b \cos t $$ 所以 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t $$
**步骤3：代入被积函数** $$ x y = (a \cos t)(b \sin t) = a b \sin t \cos t $$ 因此积分化为 $$ \int_{L} x y \, \mathrm{d}s = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a b \sin t \cos t \cdot \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t $$
**步骤4：换元简化** 令 $$ u = a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t $$ 则 $$ \mathrm{d}u = (2a^2 \sin t \cos t - 2b^2 \sin t \cos t) \, \mathrm{d}t = 2 (a^2 - b^2) \sin t \cos t \, \mathrm{d}t $$ 因此 $$ \sin t \cos t \, \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{2(a^2 - b^2)} $$ 当 $t = 0$ 时，$u = b^2$；当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = a^2$。
**步骤5：代入积分** $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a b \sin t \cos t \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t = a b \int_{b^2}^{a^2} \sqrt{u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2(a^2 - b^2)} $$ $$ = \frac{a b}{2(a^2 - b^2)} \int_{b^2}^{a^2} u^{1/2} \, \mathrm{d}u $$ 计算积分： $$ \int u^{1/2} \, \mathrm{d}u = \frac{2}{3} u^{3/2} $$ 所以 $$ \frac{a b}{2(a^2 - b^2)} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{b^2}^{a^2} = \frac{a b}{3(a^2 - b^2)} \left( a^3 - b^3 \right) $$
**步骤6：化简结果** 注意到 $$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2) $$ 而 $$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $$ 因此 $$ \frac{a b}{3(a^2 - b^2)} (a^3 - b^3) = \frac{a b}{3} \cdot \frac{a^2 + a b + b^2}{a + b} $$
**最终答案** $$ \boxed{\displaystyle \frac{ab(a^2 + ab + b^2)}{3(a + b)}} $$
难度：★★☆☆☆