📝 题目
24．求由四个平面 $x=0, y=0, x=1$ 及 $y=1$ 所围成的柱体被平面 $z=0$ 与 $z=6-2 x-3 y$截得的立体体积。
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求的是由底面区域 $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$ 所对应的柱体，被平面 $z=0$ 和曲面 $z = 6 - 2x - 3y$ 所截得的立体体积。 由于在区域内部，$6 - 2x - 3y \ge 0$ 恒成立（最小值在 $x=1, y=1$ 处为 $6-2-3=1>0$），因此立体是以 $z=0$ 为底、以 $z=6-2x-3y$ 为顶的平顶柱体。
体积公式为： $$ V = \iint\limits_{D} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y, $$ 其中 $D = [0,1] \times [0,1]$。
先对 $y$ 积分： $$ V = \int_{x=0}^{1} \left( \int_{y=0}^{1} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x. $$
计算内层积分： $$ \int_{0}^{1} (6 - 2x - 3y) \, \mathrm{d}y = \left[ (6 - 2x)y - \frac{3}{2}y^{2} \right]_{y=0}^{1} = (6 - 2x)(1) - \frac{3}{2}(1) = 6 - 2x - \frac{3}{2}. $$
化简： $$ 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}, $$ 所以内层结果为： $$ \frac{9}{2} - 2x. $$
再对 $x$ 积分： $$ V = \int_{0}^{1} \left( \frac{9}{2} - 2x \right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{9}{2}x - x^{2} \right]_{0}^{1} = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}. $$
因此所求体积为： $$ \boxed{\dfrac{7}{2}} $$
难度：★☆☆☆☆ （直接二重积分，区域为矩形，被积函数为线性，计算简单）