📝 题目
6．计算 $\displaystyle{\int}_{(1,0)}^{(2, \pi)}\left(y-\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{d} x+\left(x+\mathrm{e}^{x} \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要计算曲线积分 $$ \int_{(1,0)}^{(2,\pi)} \left( y - e^x \cos y \right) dx + \left( x + e^x \sin y \right) dy, $$ 我们首先检查被积表达式是否为某个函数的全微分。
设 $$ P(x,y) = y - e^x \cos y,\quad Q(x,y) = x + e^x \sin y. $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial P}{\partial y} = 1 + e^x \sin y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 1 + e^x \sin y. $$ 由于 $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, $$ 因此该积分与路径无关，可选取方便路径计算。
我们选取路径：先从 $(1,0)$ 沿水平直线到 $(2,0)$，再沿竖直直线到 $(2,\pi)$。
**第一段**：$y=0,\ dy=0$，$x$ 从 $1$ 到 $2$。 被积函数变为 $$ (0 - e^x \cos 0) dx = -e^x dx, $$ 积分得 $$ \int_{1}^{2} -e^x dx = -\left[ e^x \right]_{1}^{2} = -(e^2 - e) = e - e^2. $$
**第二段**：$x=2,\ dx=0$，$y$ 从 $0$ 到 $\pi$。 被积函数变为 $$ (2 + e^2 \sin y) dy, $$ 积分得 $$ \int_{0}^{\pi} (2 + e^2 \sin y) dy = \left[ 2y - e^2 \cos y \right]_{0}^{\pi} = (2\pi - e^2 \cos\pi) - (0 - e^2 \cos 0) = (2\pi + e^2) - (0 - e^2) = 2\pi + 2e^2. $$
两部分相加： $$ (e - e^2) + (2\pi + 2e^2) = 2\pi + e + e^2. $$
因此原积分的值为 $$ \boxed{2\pi + e + e^2}. $$
难度：★★☆☆☆