📝 题目
＊16．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分。 （1）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} x y \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是以点 $(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)$ 为顶点的三角形的周界（从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向）； （2）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} z^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y+y^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 位于第一卦限那部分的边界线从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向； （3）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为椭面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1(a$ ， $b\gt 0$ ）从 $z$ 轴正向往下看，逆时针方向； （4）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为以点 $A_{1}(a, 0,0) 、 A_{2}(0, a, 0) 、 A_{3}(0,0, a)$ $(a\gt 0)$ 为端点的三段圆弧 $\overparen{A}_{1} A_{2} 、 \overparen{A}_{2} A_{3} 、 \overparen{A}_{3}$ 所组成的封闭曲线，方向依 $A_{1} \rightarrow A_{2} \rightarrow A_{3} \rightarrow A_{1}$ ； （5）$I=\displaystyle{\oint}_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z-2=0$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往下看，$\Gamma$ 为逆时针方向。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 设曲面 $\Sigma$ 为三角形区域，顶点 $(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)$，取上侧（由方向确定）。 由斯托克斯公式： $$ \oint_{\Gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \cdot \mathbf{n}\,dS $$ 此处 $P=xy,\; Q=yz,\; R=zx$，旋度： $$ \operatorname{rot}\,\mathbf{F}= \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) =(0-y,\;0-z,\;0-x)=(-y,\,-z,\,-x) $$ 平面方程过三点：$\frac{x}{1}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1$，即 $3x+y+z=3$。 取上侧法向量 $\mathbf{n}=\frac{(3,1,1)}{\sqrt{11}}$，面积元投影到 $xOy$ 平面： 三角形在 $xOy$ 投影为 $x\ge0,y\ge0,3x+y\le3$，且 $z=3-3x-y$。
于是： $$ \iint_{\Sigma}(-y,-z,-x)\cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_{D_{xy}}(-y,-(3-3x-y),-x)\cdot(3,1,1)\,dx\,dy $$ 计算点积： $$ = -3y - (3-3x-y) - x = -3y-3+3x+y-x = 2x-2y-3 $$ 所以： $$ I = \iint_{D_{xy}}(2x-2y-3)\,dx\,dy $$ 积分区域：$0\le x\le1,\;0\le y\le3-3x$， 先对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{1}\left[2xy - y^2 -3y\right]_{0}^{3-3x}dx = \int_{0}^{1}\left[2x(3-3x)-(3-3x)^2-3(3-3x)\right]dx $$ 化简： $$ = \int_{0}^{1}(6x-6x^2 - (9-18x+9x^2) -9+9x)\,dx = \int_{0}^{1}(6x-6x^2-9+18x-9x^2-9+9x)\,dx $$ $$ = \int_{0}^{1}(33x -15x^2 -18)\,dx = \left[\frac{33}{2}x^2 -5x^3 -18x\right]_{0}^{1} = \frac{33}{2}-5-18 = \frac{33}{2}-23 = \frac{33-46}{2} = -\frac{13}{2} $$
因此： $$ \boxed{-\frac{13}{2}} $$
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**（2）** 曲线 $\Gamma$ 为球面第一卦限边界（三条圆弧），取曲面 $\Sigma$ 为球面第一卦限部分，方向与曲线匹配（上侧）。 $P=z^2,\;Q=x^2,\;R=y^2$，旋度： $$ \operatorname{rot}\,\mathbf{F}= \left( \frac{\partial y^2}{\partial y}-\frac{\partial x^2}{\partial z},\; \frac{\partial z^2}{\partial z}-\frac{\partial y^2}{\partial x},\; \frac{\partial x^2}{\partial x}-\frac{\partial z^2}{\partial y} \right) =(2y-0,\;2z-0,\;2x-0)=(2y,2z,2x) $$ 曲面为 $x^2+y^2+z^2=4$，$x,y,z\ge0$，取外侧法向量（与曲线方向匹配），单位法向量： $$ \mathbf{n}=\frac{(x,y,z)}{2} $$ 于是： $$ \iint_{\Sigma}(2y,2z,2x)\cdot\frac{(x,y,z)}{2}\,dS = \iint_{\Sigma}(xy+yz+zx)\,dS $$ 由对称性，在第一卦限： $$ \iint_{\Sigma}xy\,dS = \iint_{\Sigma}yz\,dS = \iint_{\Sigma}zx\,dS $$ 所以： $$ I = 3\iint_{\Sigma}xy\,dS $$ 用球坐标：$x=2\sin\varphi\cos\theta,\;y=2\sin\varphi\sin\theta,\;z=2\cos\varphi$， $dS=4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$，$\varphi\in[0,\pi/2],\theta\in[0,\pi/2]$， $$ \iint_{\Sigma}xy\,dS = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} (4\sin^2\varphi\cos\theta\sin\theta)\cdot 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta $$ $$ =16\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\,d\varphi $$ 计算： $$ \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac12,\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin^3\varphi\,d\varphi = \frac{2}{3} $$ 所以： $$ \iint_{\Sigma}xy\,dS = 16\cdot\frac12\cdot\frac23 = \frac{16}{3} $$ 因此： $$ I = 3\cdot\frac{16}{3}=16 $$
$$ \boxed{16} $$
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**（3）** 曲线为柱面与平面交线，取 $\Sigma$ 为平面 $\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1$ 上被柱面所截部分，方向向上。 $P=y-z,\;Q=z-x,\;R=x-y$，旋度： $$ \operatorname{rot}\,\mathbf{F}= \left( \frac{\partial (x-y)}{\partial y}-\frac{\partial (z-x)}{\partial z},\; \frac{\partial (y-z)}{\partial z}-\frac{\partial (x-y)}{\partial x},\; \frac{\partial (z-x)}{\partial x}-\frac{\partial (y-z)}{\partial y} \right) $$ 计算： 第一分量：$-1 - 1 = -2$ 第二分量：$1 - (-1)=2$ 第三分量：$1-(-1)=2$ 所以旋度 $(-2,2,2)$。
平面法向量：由 $z = b(1-\frac{x}{a})$，即 $\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1$，法向量可取 $(\frac1a,0,\frac1b)$，单位化后点乘旋度： $$ (-2,2,2)\cdot\left(\frac1a,0,\frac1b\right)= -\frac{2}{a}+\frac{2}{b} $$ 曲面面积元投影到 $xOy$：$dS = \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}\,dx\,dy$， $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{b}{a},\;\frac{\partial z}{\partial y}=0$，所以 $dS=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\,dx\,dy$。
于是： $$ I = \iint_{D_{xy}} \left(-\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\,dx\,dy $$ $D_{xy}$ 为 $x^2+y^2\le a^2$，面积为 $\pi a^2$，因此： $$ I = \left(-\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}\cdot \pi a^2 = 2\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\cdot \pi a^2 = 2\pi a\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right) $$ 化简： $$ = 2\pi\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{b}-1\right) $$
$$ \