📝 题目
＊17．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 穿过曲面 $\displaystyle{\sum}$ 流向指定侧的流量． （1） $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x) \boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}, \quad \displaystyle{\sum}$ 为椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ ，流向外侧； （2） $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x) \boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}, \quad \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 位于第一卦限的那部分，流向凸的一侧。
💡 答案与解析
[AI解答]
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(1) 对于向量场 $\boldsymbol{A}=x(y-z) \boldsymbol{i}+y(z-x)boldsymbol{j}+z(x-y) \boldsymbol{k}$，穿过封闭椭球面外侧的流量可用高斯公式计算。
高斯公式： $$ \iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \boldsymbol{A} \, \mathrm{d}V $$ 先求散度： $$ \nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}[x(y-z)] + \frac{\partial}{\partial y}[y(z-x)] + \frac{\partial}{\partial z}[z(x-y)] $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial}{\partial x}[x(y-z)] = y-z $$ $$ \frac{\partial}{\partial y}[y(z-x)] = z-x $$ $$ \frac{\partial}{\partial z}[z(x-y)] = x-y $$ 相加得： $$ \nabla \cdot \boldsymbol{A} = (y-z)+(z-x)+(x-y)=0 $$ 因此流量为： $$ \iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_{V} 0 \, \mathrm{d}V = 0 $$
(2) 对于球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限的部分，流向凸的一侧（即外侧）。由于曲面不是封闭的，不能直接用高斯公式，但可考虑补上三个坐标平面（$x=0, y=0, z=0$）上的部分，构成封闭曲面，再用高斯公式减去补面的流量。
设 $\Sigma_1$ 为球面第一卦限部分（外侧），$\Sigma_2$ 为三个坐标平面在第一卦限内的部分（方向取与球面外侧一致，即指向坐标轴负方向，因为封闭曲面外侧在坐标平面处指向球外即坐标轴负方向）。
在坐标平面 $x=0$ 上，$\boldsymbol{A}=0\cdot(y-z)\boldsymbol{i}+y(z-0)\boldsymbol{j}+z(0-y)\boldsymbol{k}= yz\boldsymbol{j} - yz\boldsymbol{k}$，法向量为 $-\boldsymbol{i}$，点乘得 $0$，所以通量为0。同理，在 $y=0$ 平面，$\boldsymbol{A}=x(0-z)\boldsymbol{i}+0\cdot(z-x)\boldsymbol{j}+z(x-0)\boldsymbol{k}= -xz\boldsymbol{i}+xz\boldsymbol{k}$，法向量为 $-\boldsymbol{j}$，点乘为0。在 $z=0$ 平面，$\boldsymbol{A}=x(y-0)\boldsymbol{i}+y(0-x)\boldsymbol{j}+0\cdot(x-y)\boldsymbol{k}= xy\boldsymbol{i} - xy\boldsymbol{j}$，法向量为 $-\boldsymbol{k}$，点乘也为0。
因此三个坐标平面上的通量均为0。
由(1)知整个封闭曲面（球面第一卦限部分+三个坐标平面）的散度仍为0，故总通量为0。所以： $$ \iint_{\Sigma_1} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} + 0 = 0 $$ 即： $$ \iint_{\Sigma_1} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0 $$
因此两个小题的流量均为0。
难度评级：★★☆☆☆