📝 题目
8．设 $\displaystyle{\sum}$ 为平面 $x-y+z=1$ 在第四卦限部分的上侧，函数 $f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle{\sum}$ 上连续，求
$$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求的是曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} (f(x,y,z)+x) \, dy\,dz + (2f(x,y,z)+y) \, dz\,dx + (f(x,y,z)+z) \, dx\,dy $$ 其中 $\Sigma$ 是平面 $x - y + z = 1$ 在第四卦限部分的上侧。
**第一步：确定曲面方程与方向** 平面方程： $$ x - y + z = 1 $$ 第四卦限条件是 $x \ge 0,\; y \le 0,\; z \le 0$。 “上侧”指法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角，即法向量的 $z$ 分量大于0。 将平面写为 $$ z = 1 - x + y $$ 则法向量为 $(-z_x, -z_y, 1) = (1, -1, 1)$，其 $z$ 分量为正，符合上侧。
**第二步：将曲面积分化为二重积分** 对于显式曲面 $z = z(x,y)$，有方向关系： $$ dy\,dz = -z_x \, dx\,dy,\quad dz\,dx = -z_y \, dx\,dy,\quad dx\,dy = dx\,dy $$ 这里 $z_x = -1,\; z_y = 1$，因此 $$ dy\,dz = -(-1)\,dx\,dy = dx\,dy $$ $$ dz\,dx = -(1)\,dx\,dy = -dx\,dy $$ 于是原积分化为 $$ \iint_{D} \big[ (f + x) \cdot 1 + (2f + y) \cdot (-1) + (f + z) \cdot 1 \big] \, dx\,dy $$ 其中 $D$ 是 $\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域。
**第三步：化简被积函数** 被积函数为 $$ (f + x) - (2f + y) + (f + z) = f + x - 2f - y + f + z = x - y + z $$ 由曲面方程 $x - y + z = 1$，所以被积函数恒等于1。
因此积分简化为 $$ \iint_{D} 1 \, dx\,dy = \text{区域 } D \text{ 的面积} $$
**第四步：确定投影区域 $D$** 曲面在第四卦限，即 $$ x \ge 0,\; y \le 0,\; z = 1 - x + y \le 0 $$ 由 $z \le 0$ 得 $$ 1 - x + y \le 0 \quad\Rightarrow\quad y \le x - 1 $$ 同时 $y \le 0$，所以投影区域为 $$ x \ge 0,\quad y \le \min(0, x-1) $$ 当 $x \le 1$ 时，$x-1 \le 0$，所以 $y \le x-1$； 当 $x > 1$ 时，$x-1 > 0$，但 $y \le 0$，所以此时 $y \le 0$ 更严格。 此外，还需满足 $z \le 0$ 即 $y \le x-1$，所以 $x > 1$ 时 $y \le 0$ 与 $y \le x-1$ 同时成立，但 $x-1>0$，所以实际限制是 $y \le 0$。 综合，区域为 $$ 0 \le x < +\infty,\quad -\infty < y \le \min(0, x-1) $$ 但注意平面与坐标面交线： 当 $y=0$ 时，$x+z=1$，且 $z \le 0$ 得 $x \ge 1$； 当 $x=0$ 时，$-y+z=1$，且 $z \le 0$ 得 $y \le -1$； 因此投影区域 $D$ 是由直线 $y = x-1$（当 $x\le 1$）和 $y=0$（当 $x\ge 1$）以及 $x=0$ 围成的无界区域？ 但注意第四卦限还隐含 $x\ge 0$，且平面与三个坐标面围成的部分实际上是有限三角形。
检查：平面 $x - y + z = 1$ 与坐标面交线： 与 $x=0$ 交线：$-y+z=1$，在第四卦限取 $y\le 0, z\le 0$，得线段从 $(0,-1,0)$ 到 $(0,0,-1)$； 与 $y=0$ 交线：$x+z=1$，取 $x\ge 0, z\le 0$，得线段从 $(1,0,0)$ 到 $(0,0,1)$ 但 $z\le 0$ 只取到 $(0,0,1)$ 不对，应是从 $(1,0,0)$ 到 $(0,0,1)$ 但第四卦限要求 $z\le 0$，所以实际只有 $(1,0,0)$ 到 $(0,0,-1)$？不对，当 $y=0$ 且 $z\le 0$ 时，$x=1-z \ge 1$，所以是射线。 实际上，第四卦限部分是一个无限区域？ 再考虑：第四卦限要求 $x\ge 0, y\le 0, z\le 0$，平面 $x - y + z = 1$，若 $y$ 负很大，则 $x+z = 1+y$ 可负很大，所以 $x,z$ 可以同时为正？但 $z\le 0$ 限制，所以 $x = 1 + y - z$，当 $y$ 负很大，$x$ 可能为负，所以区域实际上有界。
我们求边界：由 $x\ge 0, y\le 0, z\le 0$ 及 $x - y + z = 1$，消去 $z$ 得 $z = 1 - x + y \le 0$ 即 $y \le x-1$。 同时 $x\ge 0$，且 $y\le 0$。 所以投影区域是 $$ D = \{ (x,y) \mid x \ge 0,\; y \le 0,\; y \le x-1 \} $$ 画出图形：直线 $y = x-1$ 过 (1,0) 和 (0,-1)。 在 $0 \le x \le 1$ 时，$y \le x-1 \le 0$，所以 $y$ 从 $-\infty$ 到 $x-1$； 在 $x \ge 1$ 时，$x-1 \ge 0$，但 $y \le 0$ 更严格，所以 $y$ 从 $-\infty$ 到 $0$。 因此区域 $D$ 是无限区域，面积无穷大？但曲面是平面一部分，应为有限。 问题出在第四卦限还应包括 $z\le 0$ 自动限制 $x$ 上限？由 $z = 1 - x + y \le 0$ 且 $y \le 0$，得 $1 - x \le -y \ge 0$，所以 $x \ge 1$ 无上界？但若 $x$ 很大，则 $z = 1 - x + y$ 更负，满足，所以曲面确实延伸到无穷？但第四卦限是无限区域？实际上平面与三个坐标面围成的有限三角形是 $x\ge 0, y\le 0, z\ge 0$ 或别的卦限。第四卦限是 $x\ge 0, y\le 0, z\le 0$，平面 $x - y + z = 1$ 在此卦限的部分是无限的吗？ 检查：若 $x\to\infty$，则 $z = 1 - x + y \to -\infty$，满足 $z\le 0$，且 $y$ 可保持有限负值，所以确实无限延伸。但题目说“第四卦限部分”，通常指曲面被坐标面所截的有限部分，即与三个坐标面 $x=0, y=0, z=0$ 的交线围成的部分。 令 $x=0$ 得 $-y+z=1$，与 $y=0$ 交得 $z=1$（不在第四卦限），与 $z=0$ 交得 $y