📝 题目
16．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}\left|y-x^{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们计算二重积分 $$ \iint_D |y - x^2| \, dx\,dy, $$ 其中区域 $$ D = \{(x, y) \mid -1 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\}. $$
**第一步：分析被积函数的符号变化** 在区域 $D$ 内，函数 $y - x^2$ 的符号取决于 $y$ 与 $x^2$ 的大小关系。 曲线 $y = x^2$ 将区域分成两部分： - 当 $y \ge x^2$ 时，$y - x^2 \ge 0$，此时 $|y - x^2| = y - x^2$； - 当 $y < x^2$ 时，$y - x^2 < 0$，此时 $|y - x^2| = x^2 - y$。
**第二步：将积分区域分解** 对于固定的 $x \in [-1, 1]$，$y$ 从 0 到 1 变化。 曲线 $y = x^2$ 在区间 $[0,1]$ 内，因此： - 当 $0 \le y \le x^2$ 时，被积函数为 $x^2 - y$； - 当 $x^2 \le y \le 1$ 时，被积函数为 $y - x^2$。
于是积分可写为： $$ \iint_D |y - x^2| \, dx\,dy = \int_{x=-1}^{1} \left[ \int_{y=0}^{x^2} (x^2 - y) \, dy + \int_{y=x^2}^{1} (y - x^2) \, dy \right] dx. $$
**第三步：计算内层关于 $y$ 的积分** 先计算第一部分： $$ \int_{0}^{x^2} (x^2 - y) \, dy = \left[ x^2 y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x^2} = x^2 \cdot x^2 - \frac{(x^2)^2}{2} = x^4 - \frac{x^4}{2} = \frac{x^4}{2}. $$
再计算第二部分： $$ \int_{x^2}^{1} (y - x^2) \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} - x^2 y \right]_{x^2}^{1} = \left( \frac{1}{2} - x^2 \right) - \left( \frac{x^4}{2} - x^4 \right) = \frac{1}{2} - x^2 - \frac{x^4}{2} + x^4 = \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2}. $$
两部分相加： $$ \frac{x^4}{2} + \left( \frac{1}{2} - x^2 + \frac{x^4}{2} \right) = \frac{1}{2} - x^2 + x^4. $$
**第四步：对 $x$ 积分** 由于被积函数为偶函数（只含 $x^2$ 和 $x^4$），积分区间对称，故： $$ \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} - x^2 + x^4 \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} - x^2 + x^4 \right) dx. $$
计算： $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \frac{1}{5}. $$
因此： $$ 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{15}{30} - \frac{10}{30} + \frac{6}{30} \right) = 2 \cdot \frac{11}{30} = \frac{11}{15}. $$
**最终结果**： $$ \boxed{\dfrac{11}{15}} $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及绝对值分段与简单二次积分，计算量较小，思路直接）