📝 题目
15．（1）设 $f(y)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(y)(b-y) \mathrm{d} y$ ； （2）计算 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{1} x^{2} \sin x y \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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（1）证明： 已知 $f(y)$ 在 $[a,b]$ 上连续，考虑二重积分 $$ I = \int_a^b dx \int_a^x f(y)\, dy. $$ 积分区域为： $$ a \le y \le x,\quad a \le x \le b. $$ 交换积分次序：先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。 对于固定的 $y$，$x$ 的范围是从 $x = y$ 到 $x = b$，而 $y$ 的范围是从 $a$ 到 $b$。于是 $$ I = \int_a^b dy \int_y^b f(y)\, dx. $$ 内层积分中 $f(y)$ 与 $x$ 无关，因此 $$ \int_y^b f(y)\, dx = f(y) \cdot (b - y). $$ 所以 $$ I = \int_a^b f(y)(b - y)\, dy. $$ 证毕。
（2）计算： $$ J = \int_0^1 dy \int_y^1 x^2 \sin(xy)\, dx. $$ 交换积分次序。原积分区域为： $$ 0 \le y \le 1,\quad y \le x \le 1. $$ 等价于： $$ 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x. $$ 因此 $$ J = \int_0^1 dx \int_0^x x^2 \sin(xy)\, dy. $$ 内层积分中，$x^2$ 视为常数： $$ \int_0^x x^2 \sin(xy)\, dy = x^2 \int_0^x \sin(xy)\, dy. $$ 令 $u = xy$，则 $dy = \frac{du}{x}$，当 $y=0$ 时 $u=0$，当 $y=x$ 时 $u=x^2$，于是 $$ \int_0^x \sin(xy)\, dy = \frac{1}{x} \int_0^{x^2} \sin u\, du = \frac{1}{x} \left[-\cos u\right]_0^{x^2} = \frac{1 - \cos(x^2)}{x}. $$ 所以内层积分结果为 $$ x^2 \cdot \frac{1 - \cos(x^2)}{x} = x(1 - \cos(x^2)). $$ 于是 $$ J = \int_0^1 x(1 - \cos(x^2))\, dx. $$ 拆开： $$ J = \int_0^1 x\, dx - \int_0^1 x\cos(x^2)\, dx. $$ 第一项： $$ \int_0^1 x\, dx = \frac{1}{2}. $$ 第二项：令 $t = x^2$，则 $dt = 2x\, dx$，即 $x\, dx = \frac{dt}{2}$，当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=1$ 时 $t=1$，于是 $$ \int_0^1 x\cos(x^2)\, dx = \frac12 \int_0^1 \cos t\, dt = \frac12 \sin 1. $$ 因此 $$ J = \frac12 - \frac12 \sin 1 = \frac{1 - \sin 1}{2}. $$
最终结果： $$ \boxed{\dfrac{1 - \sin 1}{2}} $$
难度：★★☆☆☆