📝 题目
＊19．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 沿定向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量． （1） $\boldsymbol{A}=-y \boldsymbol{i}+x \boldsymbol{j}+c \boldsymbol{k}(c \in \mathbf{R}), \Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, z=0$ ，从 $z$ 轴正向看去，$\Gamma$ 取逆时针方向； （2） $\boldsymbol{A}=3 y \boldsymbol{i}-x z \boldsymbol{j}+y z^{2} \boldsymbol{k}, \Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4, z=1$ ，从 $z$ 轴正向看去，$\Gamma$ 取逆时针方向。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 向量场 $\boldsymbol{A} = -y\boldsymbol{i} + x\boldsymbol{j} + c\boldsymbol{k}$，曲线 $\Gamma$ 为圆周 $x^2 + y^2 = 1, z=0$，逆时针方向（从 $z$ 轴正向看）。
环流量定义为 $$ \oint_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} $$ 将曲线参数化： 令 $x = \cos t,\; y = \sin t,\; z = 0$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$，逆时针方向对应参数增加方向。 则 $$ d\boldsymbol{r} = (-\sin t\,\boldsymbol{i} + \cos t\,\boldsymbol{j})\,dt $$ 而 $$ \boldsymbol{A} = -\sin t\,\boldsymbol{i} + \cos t\,\boldsymbol{j} + c\boldsymbol{k} $$ 点积为 $$ \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) + c\cdot 0 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $$ 因此 $$ \oint_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi $$
也可用斯托克斯公式验证： $$ \nabla \times \boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}} \\ -y & x & c \end{vmatrix} = (0-0)\boldsymbol{i} - (0-0)\boldsymbol{j} + (1-(-1))\boldsymbol{k} = 2\boldsymbol{k} $$ 曲面积分： $$ \iint_{S} (\nabla \times \boldsymbol{A})\cdot \boldsymbol{n}\,dS = \iint_{S} 2\,dS = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi $$ 结果一致。
**（2）** 向量场 $\boldsymbol{A} = 3y\boldsymbol{i} - xz\boldsymbol{j} + yz^2\boldsymbol{k}$，曲线 $\Gamma$ 为圆周 $x^2 + y^2 = 4, z=1$，逆时针方向。
参数化： 令 $x = 2\cos t,\; y = 2\sin t,\; z = 1$，$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 则 $$ d\boldsymbol{r} = (-2\sin t\,\boldsymbol{i} + 2\cos t\,\boldsymbol{j})\,dt $$ 向量场在曲线上： $$ \boldsymbol{A} = 3(2\sin t)\,\boldsymbol{i} - (2\cos t)(1)\,\boldsymbol{j} + (2\sin t)(1)^2\,\boldsymbol{k} = 6\sin t\,\boldsymbol{i} - 2\cos t\,\boldsymbol{j} + 2\sin t\,\boldsymbol{k} $$ 点积： $$ \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = (6\sin t)(-2\sin t) + (-2\cos t)(2\cos t) + (2\sin t)(0) = -12\sin^2 t - 4\cos^2 t $$ 化简： $$ -12\sin^2 t - 4\cos^2 t = -4(3\sin^2 t + \cos^2 t) = -4(2\sin^2 t + 1) $$ 积分： $$ \oint_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi} \left(-12\sin^2 t - 4\cos^2 t\right) dt $$ 利用 $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\,dt = \pi}$，$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,dt = \pi}$，得 $$ = -12\pi - 4\pi = -16\pi $$
也可用斯托克斯公式： 计算旋度： $$ \nabla \times \boldsymbol{A} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}} \\ 3y & -xz & yz^2 \end{vmatrix} $$ 各分量： - $i$ 分量：$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}(yz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(-xz)} = z^2 + x$ - $j$ 分量：$\displaystyle{-\left[\frac{\partial}{\partial x}(yz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(3y)\right]} = -(0 - 0) = 0$ - $k$ 分量：$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}(-xz) - \frac{\partial}{\partial y}(3y)} = -z - 3$
因此在 $z=1$ 平面上： $$ \nabla \times \boldsymbol{A} = (1^2 + x)\boldsymbol{i} + 0\boldsymbol{j} + (-1 - 3)\boldsymbol{k} = (1+x)\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{k} $$ 曲面法向向上（逆时针对应上侧法向），$\boldsymbol{n} = \boldsymbol{k}$，则 $$ (\nabla \times \boldsymbol{A})\cdot \boldsymbol{n} = -4 $$ 曲面积分： $$ \iint_{S} (-4)\,dS = -4 \cdot (\pi \cdot 2^2) = -16\pi $$ 结果一致。
**答案：** (1) $2\pi$ (2) $-16\pi$
难度：★★☆☆☆